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　　“盒子体积最大制作”一题的纯小学解法

　　wangyu

　　浙大其其网友提供的初等数学解法用到了高中的绝对不等式，对小学生来说
很难理解；skywalker00网友的解法确实巧妙，但是用到了一个前提：具有相等
表面积的长方体以正方体的体积为最大，这本身就需要证明。

　　我尝试用“纯粹”小学数学关于长方体体积的计算来解此题（尽管在以下的
解法中用到了微分的朴素思想，小学生中的聪明者应该能够理解）。 不管怎么
说，此题应该是竞赛题的难度了，对大多数小学五年级的学生来说确实有点勉为
其难。

　　已知铁皮面积共80平方米，问怎样制作一个最大体积的无盖盒子。
　　因为有三个变量，分别是盒子的长、宽、高，只有一个约束条件（铁皮面积
共80平方米），所以小学生考虑此问题时应首先考虑简单情形，即假设固定高度，
如何制作一个最大体积的盒子。

　　假设高度为h，长宽分别为a和b，并且假设a>b（不失一般性）。
　　考虑制作一个盒子后还剩一点点铁皮，需要把它在做到盒子上去，那么考虑
到高度一定的情形有两种方案：第一是增加盒子的短边；第二是增加盒子的长边。
　　第一种方案：假设增加的短边为w，那么增加的体积V1＝a×h×w; 增加的铁
皮面积＝（a+2h）×w
　　第二种方案：假设增加的长边为z，所以增加的盒子体积V2＝b×h×z，增加
的铁皮面积＝（b+2h）×z；
　　因为两种方案增加的铁皮面积不变，所以（a+2h）×w＝（b+2h）×z，由于
a>b，显然w>z，可以化简得a×w－b×z=2h×（z-w）>0
　　考虑两种方案增加体积的大小，
　　因为V1－V2＝a×h×w－b×h×z＝h×（a×w－b×z）>0
　　说明在高度一定时，增加短边永远可以得到较大的盒子体积，也就是说盒子
底面是正方形时有最大值。根据这个原则，我们首先确定要制作底面是正方形的
盒子。

　　再考虑高度不定时如何使得制作的盒子体积最大。
　　同理假设制作一个底面是正方形的盒子后还剩一点点铁皮，需要把它在做到
盒子上去，那么考虑到不改变底面是正方形的情形也有两种方案：第一是增加盒
子的高；第二是增加盒子的底面正方形边长。
　　第一种方案：假设增加的高度为x，那么增加的体积V1＝a×a×x; 增加的铁
皮面积＝4a×x
　　第二种方案：假设增加的底面边长为y，
　　所以增加的铁皮面积＝（a+y）×（a+y）－a×a+4（a+y）×h－4a×h
　　=2a×y+y×y+4y×h；
　　增加的盒子体积V2＝（a+y）×（a+y）×h－a×a ×h=（2a×y+y×y）×h；
　　因为两种方案增加的铁皮面积不变，所以4a×x＝2a×y+y×y+4y×h，
　　现在考虑V1－V2的情形，并用到4a×x＝2a×y+y×y+4y×h的关系，
　　V1－V2＝a×a×x－h×（2a×y+y×y）
　　＝y（0.5a×a－a×h+0.25y－h×y）=y（a（0.5a－h）+0.25y－h×y）
　　要判断上式大于或小于0，因为y大于0，只要判断括号内的项就可以。小学
生会想到y是一个很小的值（因为就剩一点点铁皮了），所以关键是0.5a－h的正
负如何，直接决定了V1－V2的正负。
　　若0.5a－h为正，h<0.5a，V1－V2>0，说明必须增加盒子的高度；
　　反之，若0.5a－h为负，h>0.5a，V1－V2<0，说明必须增加盒子底面的边长。
根据以上，我们确定当盒子高度是底面边长的一半时盒子具有最大的体积。

　　综合以上两个步骤的考虑，当盒子的底面是正方形并且高度是底面边长的一
半时，盒子具有最大的体积。现在来求体积就容易了：
　　假设底面边长为a，高度为h，那么根据题意有：
　　4a×h+a×a=80
　　h=0.5a
　　两式联合解得3a×a=80
　　然后可以轻易求得体积为：15的平方根×160/9，约等于68.85立方米。

(XYS20050813)

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