◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇ “那道题没有错”意味着什么 作者：豆腐干 时间：2003年11月18日 1。“那道题没有错”意味着什么。 我们可以写出如下的句子： 甲1：我尚未考虑是否有合适的“标准”用于判断那道题的对错。 甲2：我已经确定了明确的“标准”来判断那道题的对错。 在语句甲2成立的条件下，考虑如下句子： 乙1：我没能根据我所确定的那些标准做出任何判断，事实上，我现在“不知道” 我能否根据那些标准做出判断。 乙2：我已经确认，根据我所选定的那些标准来判断，只用“对”和“错”这两 个词来描述判断结果是不合适的。 乙3：我已经确认，根据我所选定的那些标准来判断，用“对”和“错”这两个 词来描述判断结果是合适的。 在语句甲2乙3成立的前提下，考虑如下句子： 丙1：我已确认我能够根据我所选定的标准来判断那道题的对错，我的结论是， 那道题是对的。 丙2：我已确认我能够根据我所选定的标准来判断那道题的对错，我的结论是， 那道题是错的。 上述两组语句可以组合成如下一些语句：甲1、甲2乙1、甲2乙2、甲2乙3丙1、甲 2乙3丙2。 在上述五句话中，以我之见，只有甲2乙3丙2对应“那道题错了”这句话是比较 合适的。如果你看到这句话的时候，心中只有甲2乙3丙1和甲2乙3丙2这两句话， 那么，你把甲2乙3丙1作为甲2乙3丙2的“否命题”，我是可以理解的。但是，如 果某个人由于常年的逻辑训练一下子就想到了上述全部五句话，那么，当“甲2 乙3丙2不成立”的时候，他会认为还有其它四种情况，而不是只有甲2乙3丙1一 种情况。如果再将“标准”本身做为一个参数，那么情况就更加复杂了。这还没 有考虑到我们说出的“标准”在别人听起来是什么样子。本文作者的观点基本上 近似于甲2乙2。 2。数学家是否会说“两个相同的交点”这样的话。 这是真的。这倒不是数学家愿意自找麻烦，“故意”把“一个交点”说成是“两 个相同的交点”，他们这样说是有价值的，而这“价值”恰恰在于这种说法有的 时候利于表达。举个例子来说，假定一个二次方程只有一个实根，一位数学家可 能会说这样的话：“我发现了这个方程有一个满足性质P的根，我又发现了这个 方程有一个满足性质Q的根，最后，我发现这两个根相等”。如果我们只能给这 个唯一的实根“一个”名子的话，那么上述语句就得改成：“我发现了这个方程 有一个满足性质P的根，然后，我在讨论这个方程是否有满足性质Q的根时再此发 现了前面那个根”。后一句话看起来似乎并不比前一句麻烦多少，但是，想想看， 在这种情况下，你如何表达“这个方程有N个根，第I个根满足性质P（I），但这 些根只取M个不同的值”这样的话呢？如果这个N＝20，你恐怕得写一页，如果N 只是个虚指，并无具体数值，那你恐怕写都写不出来了。这只是职业数学家的语 言技巧之一。 3。数学家是怎样看待严格性的。 数学家通常是用“自然语言”写作的。但他们通常都会乐观地认为他们的“写作” 是可以“形式化”的，也就是说，他们的“写作”可以表述成与具体的自然语言 无关的表述方式。举个例子，考虑如下一段自然语言的描述“ 函数y=ax^2+bx+a中的自变量x以及参数a和b均取值于实轴，a<>0，如果函数的图 像与x轴有且只有两个不同的交点，那么参数a和b的取值范围应该是{(a,b) : |b|>2|a|，a<>0}”，依照数学家的理想，这段话最好能改成如下的“语句”： [对于任意a<>0、b[存在x1、x2[(ax1^2+bx1+a=0)且(ax2^2+bx2+a=0)且 (x1<>x2)]]]当且仅当[ ( |b|>2|a| ) 且 (a<>0) ]， 在这句话中，“对于任意”、“存在”叫做“量词”，“且”、“当且仅当”是 一些“连接符号”，你完全可以将它们改成任意你喜欢的形式，其它都是纯粹的 数学运算符号。为了探讨上面那句话的“意义”，数学家们还要确定其它一些语 句，称为“公理”，例如基本的集合论公理，关于数的定义，等等，然后，数学 家还要确定一些“规则”，这些规则都是可“操作的”，它把一个“语句”变成 另一个“语句”。如果数学家能够从“公理”出发，经过有限步地应用“规则”， “变出”上面那句话，那么他们就会说：我给出了一个“证明”，现在这句话成 为了一个“定理”。这就是数学家对严格性的梦想。那么，是不是所有合乎“语 法”的语句都一定能够从“公理”出发被确定为是“定理”或“不是定理”呢？ 伟大的数学家歌德尔指出：不是！至少在某些逻辑系统里，某些合乎语法的语句 的正确与否是不可判定的！ 在实际的生活中，数学家几乎全部用“自然语言”写作，因此，他们在决大多数 时候仅仅是“相信”自己的写作是能够“形式化”的。数学家们为了能够互相 “相信”对方用自然语言完成的“证明”，必须付出艰苦的努力，全世界数学家 的训练过程都是相似的，他们从几个公理出发，把他们学过的“全部”数学知识 都组织成已被证明的“定理”和“概念”，每一个“定理”和“概念”要么是从 前面的“定理”和“概念”应用规则得来，要么就要明确说明这是新引入的“假 设”或“公理”。我想，在这个世界的任何一个角落，当一个人取得数学博士学 位，并进入数学家的行列的时候，他（她）已经被这样洗脑有8年、10年或更多 的时间，头脑中已经积累了成千上万的“定理”和“概念”，而所有这一切，都 是从最初的几个形式语句（公理）出发被“证明”出来的。除非你自己经历过这 样的过程，否则，你恐怕很难“确切”理解那意味着什么。 我在这里顺便希望大家理解，当一位数学家被要求去看一篇“民间作者”关于歌 德巴赫猜想的证明的时候，他（她）会是多么痛苦，因为他（她）根本就不知道 该如何表达自己的观点，他们双方实际上并不能理解对方的语言！在这个意义上， 这也是数学家这个群体与“公众”的隔膜所在。数学家通常会认为，在他们所理 解的那种严格性之外，再没有什么是“严格”的东西了。这个说法虽然会伤害很 多人的自尊，但这不幸正是我所看到的很多数学家都有的傲慢。 4。对于那道高考题的评价。 首先，我们来确定一件事，那就是把那样一道题作为一道“高考试题”的“目的” 是什么？对于这个“目的”，我们可以假定有如下“形式”的描述：“出题者写 出题目，并预先确定了唯一一个‘正确’的答案，然后，让受试者选出其中的一 个答案，最后，按照受试者选出的答案与预先确定的‘正确’答案是否相同来给 受试者打出不同的分数，未做出选择的受试者将被视同做出了与‘正确’答案不 符的情况。”现在的问题是，有些受试者认为，没有一个答案是“合理”的，他 们因此在考试中受到损失，这也可能损害了高考的权威性。也有一些人认为，题 目的表述本身就不是专业的数学研究者所能接受的。在这种情况下，出题者可以 和提出异议的人各自给出支持自己的观点的“合理性”理由，他们也确实给出了 这样的理由，但不幸的是，没有人能够仅仅倚赖中学教科书中的陈述来阐述自己 的理由。在这种情况下，我们可以考虑另一个问题，那就是，对出题者进行“有 罪推定”还是“无罪推定”。“有罪推定”的意思是说，如果出题者不能进一步 给出只用中学教科书中的陈述来表达的“合理性”理由，那么他们就必须承担某 些责任；“无罪推定”的意思是说，如果持有异议的人不能进一步给出不可能仅 仅从中学教科书中的陈述来寻求“合理性”的理由的证明，那么出题者就不需要 承担任何责任。在这种情况下，我们如何确定对出题者进行“有罪推定”还是 “无罪推定”呢？我们可以考虑的一个因素是，是否有人因此受到损失。但这个 问题是不容易回答的，也许我们永远也不会知道受试者在考试的时候头脑中到底 想到了什么。但是，我们可以考虑另外一个因素，那就是有没有人不当得利。对 此，我们可以随机地抽取一些选择了‘正确’答案的受试者，请他们写出仅仅倚 赖中学教科书中的陈述的理由，如果他们没有人能写出，那么，在假定他们没有 普遍撒谎的前提下，我们就可以判断，有很多人（也许是所有选择了‘正确’答 案的人）不当得利，或者，严格地说，他们获得了出题者并不希望他们获得的那 些好处。在这种情况下，这道题目应该认为是“失败”的，对出题者应该适用 “有罪推定”。如果出题者或持有异议的人给出了进一步的理由，那么，可以继 续选择某些人来进行仲裁，仲裁者只须对这些理由表示“接受”还是“不接受”。 此时，我们可以考虑的问题是，由谁来仲裁，类似的仲裁最多进行几次？ 注：上面一段话里没有对这道题的正误做出任何评判，所指出的现象都是“可观 测”的，所做出的建议都是“可操作”的，所有的“意见”都被明确标明，在这 个意义上，我相信，它是相当不容易被驳倒的。我写这段话的意思是想说，即使 剥离正确与错误这样的观念，法官也是可以断案的，而且也相当有道理，甚至相 当“严格”。当然，当事人可能会去谈论他们各自观点下的正确与错误，而法官 只要招集仲裁者、主持程序正义就可以了，比如选择一些选择了‘正确’答案的 学生来做一个实验，请他们尝试着写出仅仅由中学教科书中的陈述组成的理由， 然后以此为依据来决定对出题者进行“有罪推定”还是“无罪推定”。我相信， 这些“程序”本身的意义并不亚于那些关于“正确”和“错误”的讨论。 (XYS20031118) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇