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错在中学数学
　　——与朱如曾先生探讨江苏数学高考题的对错

　　自出洞来

　　关于2003年江苏高考数学卷第一题第1小题是否是错题，有关专家和广大人
民群众争论了好长时间了。朱如曾先生下了很大的功夫，来论证这是一道错题，
并且严重影响了考生（“特别是对那些平时数学成绩比较好的同学”）本题的得
分以及对全局的答题。强烈批评了那些不承认错误的专家。

　　我本人也对朱先生的观点比较赞同，该题可能是由于出题的专家解漏了条件，
而导致该题不严谨（注意是不严谨）。对专家死不认错也深表遗憾。

　　但是回过头来想一想，就算确实如此，我们也应提供确凿的证据，证明确实
是专家出错了题而另外的专家又死不认错，否则别人（对情况不了解的人，对高
中数学不懂的人）就未免会认为我们是小人之心度君子之腹。

　　好在数学应该是最严谨的科学，所谓最严谨，就是只要给出了公理（或公
设），给出了推理的规则，任何人（平头百姓）都可以和权威（哪怕是中科院院
士）争论一番。错就是错，对就是对，没有二话。如果两方意见不一致，要么是
推理过程有逻辑错误，要么是前提条件不正确。

　　关于这道题，朱先生说的挺多，但是没有说到点子上去！

　　数学上的概念应该给出定义，有些第一性的概念实在没法定义，那就应该解
释清楚，让大家对其有个共同的认识，不至于在以后的推导过程中产生歧义。这
类第一性的概念应属于公理或公设的范畴了。

　　本题的焦点在于对图形“边界”的理解，我记得从小学数学到高中数学，都
没有对图形的“边界”给出定义（也许高等数学中有定义，但那已经不是我们要
讨论的了），这就给那些专家们钻了空子。既然没有定义，那当然各人有各人的
理解。首先“边界”是可以“看起来”包括在图形中的，如环形，有两个圆作为
“边界”，小圆看起来在图形中间（其实严格来说，小圆不在图形中间，而真正
是图形的“边界”），所以包括在图形中的b轴当然可以理解成“边界”了。就
算“边界”必须严格在图形的边界而不能包含在图形内，我们也可以认为阴影部
分是两个图形拼成的，这样b轴也可以理解成“边界”。其次，如果给出的条件
是边界不包括，是否边界一定要画成虚线呢？数学课本上好像也没有讲，只要用
文字说明，边界是否包括在内即可，恰恰该题的文字部分注明了“不包括边界”。

　　这样看来，专家讲的也不是没有道理。错就错在中学数学没有给出“边界”
的定义！

　　再把专家想得好一点，我记得在中学老师教我们遇到这种二次函数或二次方
程时，头脑中首先就先牢牢树立a不等于0的意识。难道权威的专家（他可能培育
了无数个数学比我还要好的学生）自己倒真的能解丢了条件（即忽略了a不等于
0）？这可叫“终日打雁反倒叫雁啄了眼”。

　　结论：

　　1．也许出题者真的解丢了条件，但他们捞着了稻草！
　　2．怪只怪中学数学课本（还有小学课本）不严谨，没有给出“边界”严
格的定义，也没有作出详细的说明。
　　3．本高考题不严谨，但说是错题还有可争论的地方。

(XYS20030803)

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