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黎鸣四色猜想证明是错误的的根本原因

辽河派

　　黎鸣对四色猜想的证明在网上发布以后，引起了很多的争论。虽然他自己宣
称“历史会证明他是正确的”，但是其数学基础的贫乏和逻辑思维上的混乱注定
这是一个错误的证明。

　　1、方法论上的错误——公理是哲学魔术的玩偶吗？

　　黎鸣的四色证明关键在于他提出的“全相邻”、“全相邻数”等概念和两个
公理。然而，由于对数学上的公理化方法的曲解，使得其整个证明建立在完全错
误的基础之上。

　　我们首先回顾一下公理化方法的知识。我找到两本书上有关于公理化方法的
介绍，一本是《形式逻辑》，80年代翻译前苏联的逻辑学教科书，作者是谁忘了。
另一本是梁希泉编著的中小学教师继续教育用书《几何学——高观点下的中学数
学》(东北师范大学出版社)。

　　几何学的公理化方法是从少量原始概念和公理出发，遵循逻辑原则建立几何
学演绎体系的方法。用公理化方法建立的数学体系一般是由以下四部分组成：

　　(1)原始概念的举例；
　　(2)定义的叙述；
　　(3)公理的列举；
　　(4)定理叙述和证明。

　　1.1 原始概念及一系列由定义给出的概念明确了这门几何的研究对象，即图
形和关系；其中公理和一系列定理肯定了几何对象和对象之间的进一步的关系，
即几何性质，两方面组成了这门几何学的抽象内容。而原始概念、公理、定义、
定理之间的逻辑关系则形成了这门几何学的逻辑结构。一般说来，用公理化方法
建立的几何学演绎体系总是由抽象内容和逻辑结构构成的统一体。决定几何体系
的基础是原始概念和公理，不同的基础决定不同的几何体系，例如欧几里德几何、
罗氏几何、黎曼几何、拓扑学等。

　　原始概念是作为研究内容提出的而本身又不加定义的概念。
　　原始概念包含原始元素(图形)和原始关系两类：
　　原始元素是组成几何图形的最简单、最基本的几何元素。
　　原始关系是原始图形之间的基本几何关系。
　　例如，在希尔伯特建立的公理化几何学中，原始概念有：
　　原始元素：点、直线、平面。
　　原始关系：结合关系、介于关系、线段合同关系、角合同关系。
　　希尔伯特对原始概念的选择，既少而精，又足以根据它们定义出其他所有的
概念，这是一个典范的工作。

　　1.2 定义是揭示概念的本质属性的逻辑方法。概念有明确的定义才能从本质
上把不同的概念区别开来。

　　1.3 公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少
数思想规定。

　　在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为根据
的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，
必须适时而止，因此，需要选择一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基
础，这就是公理。

　　数学区别于其他学科的主要特征之一就是它的推理论证的演绎性质。为了建
立某种理论或得出某个结论，天文学家必须借助观察，化学家必须借助于实验，
但是数学不行。三角形内角和等于180°不是通过测量得出和证明的，它的真实
性是经过事先假定为真实的命题，按逻辑的原则推证出来的。几何的其他命题也
是如此。

　　公理是怎样选定的哪？有的是从历史上延续下来的，它们是人们经过反复实
践从客观世界总结出来的规律，是人们公认的，如“两点确定一条直线”这条公
理。有的就是为了建立某种理论体系的需要，作为出发点而被规定下来的，它们
不甚直观显然，甚至暂时不被人们接受，如罗巴切夫斯基几何中的平行公理。

　　公理总是直接或间接地来源于实践，决非科学家随心所欲的空想。譬如罗氏
几何平行公理的出现，它首先是以欧氏几何的某些事实(概念、理论、方法)作为
基础，受试证欧氏第五公设的启发；其次是受科学认识论的支配，克服认为公理
是先验的唯心主义思想，承认公理的正确性必须靠实践来验证；再次是生产力和
科学技术的不断革命所决定的，这些都为罗氏几何平行公理的出现做了必要的准
备。

　　1.4 用公理化方法建立一门几何学体系时，最根本的是建立该几何学的公理
体系。

　　作为一门几何学基础的原始概念和全部公理称为该几何学的公理体系。满足
公理系统的几何图形的集合称为几何空间。

　　1.5 几何定理和证明

　　证明是陈述一个判断是真实的充足理论，它是以一些确实可靠的判断(公理、
定理)为依据，通过一个或几个推理来完成的，这些推理之间有逻辑连贯性。一
般来说，前一个推理的结论是后一个推理的前提，直到推出待证命题的正确性。

　　1.6 公理系统的相容性、独立性、完备性

　　确定公理系统时，应该满足什么样的要求哪？希尔伯特提出以下三个要求，
称为公理系统的基本问题：

　　(1)公理系统的相容性：一个公理系统及其一些推论不含有矛盾的命题。

　　(2)公理系统的独立性：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证
明，即不是其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。如果一个公
理系统中的每一条公理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。

　　(3)公理系统的完备性：如果所有的命题都能根据公理证明或否定，则公理
系统是完备的。在完备的公理系统中，不能再增加新的公理。

　　1.7 根据以上关于数学公理系统的介绍，黎鸣的相邻几何学和两个公理的错
误就是非常明白无误的了。

　　黎鸣谬论之一：“公理即直观恒真的真理，绝对的真实。”

　　黎鸣谬论之二：“公理只能由数学大权威来发布。”

　　在一个几何学体系中把四色定理作为公理，直接违反了公理系统的独立性和
完备性，这是黎鸣的一个根本性的错误。

　　四色定理能不能作为公理哪？能！但是必须把原来的公理系统的一个公理去
掉，然后用四色公理和其余的公理来推演出该几何学中其他所有定理。但是这样
做的困难恐怕比证明四色定理还要难。

　　黎鸣对数学公理化方法的一知半解导致他任意规定公理来避开他难以证明的
命题。难道公理是他手中的玩偶？

　　2、逻辑上的错误

　　数学命题的证明从逻辑学角度来讲是一种演绎证明(参见1.5)，而不是归纳
证明。

　　归纳方法作为一种发现规律的方法是一种很重要的逻辑方法，在数学命题的
证明过程中，归纳法可以帮助人们找到证明的正确途径，但是不能证明命题。

　　黎鸣的中国地图的研究使用的就是归纳法，其结果只是发现中国地图有一些
他所说的规律，但是世界地图哪？古代地图哪？任意画出的地图哪？归纳法只是
对已知事实的总结，而不是对命题的证明。数学上有很多例子说明归纳法是靠不
住的。例如，费马猜测形如2^2n+1的数都是素数，实际上只有前5个费马数
(3,5,17,257,65537)是素数，欧拉证明第六个费马数等于641×6700417就不是素
数。

　　黎鸣的四色证明不是数学意义上的证明。

(XYS20070110)

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