◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.dropin.org)(xys-reader.org)◇◇ 用高数的极限来分析“芝诺悖论” scale 陈祖甲先生在介绍芝诺悖论的文章中(见何谓“芝诺悖论”?——答蒋 劲松《“芝诺悖论”与“科普悖论”》,XYS20080124)对芝诺悖论进 行了感性的分析,指出了芝诺悖论是唯心的,形而上学的。但是看完之 后,感觉这样感性的分析并不能说服之前并不了解这个悖论或者相信这 个悖论的人(如吴、蒋等),而且感觉陈先生的分析并没有抓住悖论的 本质。如果学过高等数学极限的概念(可能中学课本里就有极限的相关 内容了),分析这个悖论就比较容易了。本人斗胆分析一下,有不对之 处,请XYS上方家指正。 先用稍微数学一点的语言来描述这个悖论。 乌龟在阿基利斯(或兔子)前面S[0]处,二者同时起跑,阿基利斯去追 乌龟。当阿基利斯跑到乌龟之前的位置(S[0]处)时,乌龟已经往前跑 了S[1]了;当阿基利斯再跑到S[1]处时,乌龟又往前跑了S[2]了……如 此下去,无论阿基利斯怎么追,每一次当阿基利斯追到乌龟之前的位置 时,乌龟总会在这段时间里往前跑一点,因此芝诺悖论说阿基利斯永远 追不上乌龟。 在悖论的描述中,并没有像陈先生说的“等到阿基利斯达到乌龟出发点 时,乌龟已经向前跑了。而阿基利斯却在这一点上不动的。难道这位神 仙要像兔子似的休息一下”。悖论的描述中,阿基利斯也是不停地在跑 着。 如果阿基利斯的速度大于乌龟的速度的话,每次阿基利斯追到乌龟先前 位置时乌龟又往前跑的距离S[n]是随着n的增大而减少的(见下一段的 简单分析)。因此乌龟领先阿基利斯的距离序列 S[0], S[1], S[2] ..., S[n]... 是一个递减的序列。芝诺悖论说这个无穷长序列中的数哪怕是非常非常 非常小无限接近于零的,但是总会是一个大于零的数,所以阿基利斯永 远追不上乌龟。 实际上,假定阿基利斯和乌龟速度分别为V1和V2的话(V1>V2),那么 S[n]=V2*S[n-1]/V1=k*S[n-1]=S[0]*k^n,式中,k<1。 显然当n趋向于无穷大时,S[n]趋向于0。也就是说,阿基利斯追了无穷 次后,乌龟领先于阿基利斯的距离会为零,这样阿基利斯就追上了乌龟。 当然到此为止,并没有完全解释阿基利斯会追上乌龟。因为没有说明阿 基利斯追无穷次所用的时间是有限的。 上面提到的距离序列,会对应一个时间序列,时间序列中的每个数表明 阿基利斯本次追到乌龟之前的位置所用的时间,那么容易得到 T[n]=S[n]/V1=S[0]*k^n/V1=A*k^n,其中A=S[0]/V1为一个有限的常数。 显然时间序列中所有的数加起来的总时间TSum,相当于n取无穷大时 sigma(T[n])的值(sigma表示求和,这里表示对时间序列中所有的数求和), 这是一个简单的极限问题,得到的结果是: TSum = A/(1-k) 用V1、V2和S[0]来表示,就是 TSum = S[0]/(V1-V2) 这是低年级小学生都能得出的一个结果。 所以,我认为解释“芝诺悖论”的重要一点是:阿基利斯完成将乌龟领 先自己的距离变为零的总时间为有限的。距离,时间,是两个有关系的 概念,吴国盛、蒋劲松们关注到了距离,没有注意到距离会趋向于0, 更没有注意到时间,距离变为零的总时间是有限值。这种悖论,好好学 习学习科学,或者至少多听听相关人士的意见,应该能够很好解释的, 不至于还会像蒋说的那样:这个难题目前也不能说得到很好的解决。 (XYS20080125) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.dropin.org)(xys-reader.org)◇◇