【新语丝电子文库(www.xys.org)(www.xys2.org)】 ———————————————— 回忆做华罗庚研究生的日子 冯克勤 学校研究生院要我为《研究生教育》写一篇文章,这使我回忆起自己做华罗庚老 师研究生的那些难忘的日子。我愿意把它讲述给现在的年轻研究生们,并藉此寄 托我对导师的怀念之情。 一 和中国的许多学生一样,我在孩童时期就对数学着了迷。我和妹妹只吵过一次架, 而且我把她揍得很凶,那是因为在小学时她把我的数学习题本剪碎了,使我心疼 至极而愤怒得失去控制。在天津一中上高二时,每个星期天中午不吃饭,跑到天 津市图书馆去读华罗庚的《数论导引》。高三毕业时,中国科技大学招生人员来 天津一中,说1958年我校上届学生朱滨考上科大,使天津一中的信誉很高,动员 我们也考科大。我在招生手册中看到华罗庚给科大58级学生上课的一张照片,便 马上报了名。 在科大五年(1959—1964)的大学生活是难以忘怀的。那时的科大学生生活真正 是“团结、紧张、严肃、活泼”。学校领导对我们的教导是:他们和先烈们创建 了统一的新中国,我们的任务就是努力学好知识,把中国建成强大的国家。当时 的祖国一派生机勃勃,年青人充满了单纯的理想。我在科大踏踏实实地念了五年 数学。许多老科大人都知道科大数学系有三条“龙”,即华龙(华罗庚)、关龙 (关肇直)和吴龙(吴文俊),我在大学前三年属于关龙,关肇直老师的课有一 种高屋建瓴的气势,并富有哲理性。我也听过吴文俊先生的代数几何课,每次课 一气呵成,条理清晰,思路敏捷。到了1962年,华罗庚要在我们班开设代数与数 论专业,我成了这个专业的学生。当时教我们代数的是华罗庚、万哲先和曾肯成 三位大家,教数论的是王元和吴方两名高手,辅导教员是谢盛刚和徐诚浩,在这 样的教授手下学习真是令人振奋。1963年,吴方老师带我做大学毕业论文,题目 是《椭圆内的整点问题》,那是把陈景润关于圆内整点的最新结果推广到椭圆上, 曾经得到陈景润的亲自指点。文章作好后,华罗庚同意作为大学毕业论文,并发 表在《科大校庆五周年论文集》中,这是我的第一篇学术论文。1964年毕业前夕, 我考上了华罗庚的数论研究生。 二 华罗庚在60年代共招了11名研究生,他任科大副校长之后,把很大的精力放在科 大培养学生。62年研究生为钟家庆、孙继广、曾宪立和陆洪文,63年为林秀鼎, 64年为徐传宣、那吉生、贺祖琪、陈文德、裴定一和我。我们分别学习华罗庚从 事的三个重要研究方向:多复变函数论、代数学和数论。他给我定的方向是代数 数论。40年代他本人在美国作过不少杰出的数论工作。回国后于50年代培养了一 批优秀的解析数论学生(陈景润、王元、越民义、吴方等)。但他一直希望有人 继续从事代数数论工作。这期间,他和王元正在从事数在积分近似计算中的应用 的研究,考虑用分圆域的单位构作积分插值,减小高维积分的计算量并提高误差 精度。我对代数和数论相交叉并有实际应用的这个研究领域非常合意。 华罗庚指导研究生的方针是以自学为主,指定要念的书,参加一些讨论班,并平 均每两周和他谈一下学问。他要我念一本Landau的书:《代数数域上的解析方 法》,要我念几篇文章,包括他和王元正在做的积分近似计算的文章初稿。参加 他主持的一个“不等式”讨论班,大家共同讨论Bellman当时刚出版的一本关于 不等式的书。参加讨论班的除了我们研究生,还有其他专业的科大教员,比如有 作概率论的殷涌泉。在一个权威人士带领下,不同学科的人员共同讨论一个课题, 是华罗庚从事研究和培养人材的十分显著的特点。而且每个讨论班都有明确的长 远目的。他组织“不等式”讨论班的目的是锻炼我们的基本功,更长远的想法是 他想从事数理经济学的研究,不等式是一个重要工具。这个讨论班给我的印象极 为深刻。在讨论班第一次课上他说:“我叫你们念这本书是因为我不认为这本书 写得很好”。他认为,用他精湛的矩阵技巧可以更系统地整理此书中许多矩阵不 等式,归结于少数几个手段,使书中的内容看起来非常简单。这是他一贯倡导的 “从薄到厚,又从厚到薄”读书方法的典型体现。记得我在他这种不迷信前人的 熏陶之下,改进了此书中的一个不等式,并且在某种意义下改进到最佳程度。听 殷涌泉和当时华罗庚的秘书王柱对我讲,华对我的结果和方法颇为欣赏,但他并 没有为此事当面夸奖过我。他对学生的要求是非常严格的。他要我们干的事,都 要定期有个交待,决不能抱有“他会忘记”的侥幸心理。每次见他之前,都抱着 小心翼翼的敬畏的心情,不但在数学上作好准备,而且要想好如何答复他提出的 问题。对于不满意的学生他会当众训斥(但是次数不多),但对符合心意的人, 或者看到我们的成绩,他是由衷高兴的。这从严的要求使我终生受益匪浅,督促 我学业不断进步,永不自满。 正是在1964年,张劲夫和郁文等有远见的中科院领导决定成立中科院研究生院, 把在全国各所的研究生集中到北京中关村学习一年。我们一共分成四个班,大家 的专业从数理化一直到考古学,我对这些五花八门的专业感到很新奇,大家相处 很融洽。1965年,我去北京顺义县“四清”,然后就开始了“文化大革命”,所 以,我的研究生学习只进行了不到一年。1968年10月,我们六位同班同学均被分 配到北京之外,我被分配到山西太原公司在动力厂当电工。1973年5月回到已下 迁合肥的科大,不久去北京随万哲先老师学习代数编码理论。万哲先老师组织我 们几位举行代数数论讨论班,随后北大的聂灵沼、丁石孙先生也参加进来。于是 时隔8年,我又重操旧业,继续华老师叫我从事的工作。1979—1981年,我去美 国进修,学习了西方代数数论的新进展,直到今天,这仍是我的主要研究方向。 三 华罗庚老师于1985年6月12日在日本东京大学的讲台上猝然倒地,至今已经9年了。 他对世界数学的杰出贡献是举世公认的。他的治学精神和对待人生的态度,则集 中表达在他经常讲的名言警语之中。 他多次讲过“天才在于勤奋,聪明在于积累”。熟悉他经历的人都懂得这句话的 份量。华罗庚于1910年11月12日出生在江苏省金坛县。父亲华瑞栋开代销店。华 罗庚在金坛中学初中毕业后,家里无力供他上高中,便帮助父亲经营小店。1928 年,金坛发生流行瘟疫,他的母亲染病去世,他也卧床六个月未翻身,导致左腿 残废。就在这时,留法回国的王维克在金坛中学教书,借书给华罗庚看(一本大 代数,一本解析几何,一本50页的微积分)。他开始对数学着迷,边站柜台边自 学数学。由于影响作生意,他父亲多次要撕掉他的“天书”。1929年他在《科学》 第14卷上发表了第一篇论文。他的第二篇论文(1930年《科学》第15卷)引起清 华大学数学系主任熊庆来的注意。他于1931年推荐华罗庚作数学系助理,管图书、 公文和打字等。至1933年,他的数学水平和能力已为大家公认,由于叶企荪教授 仗义执言(“清华出了个华罗庚是好事,不应资格问题限制人才使用”)。他破 格提升为助教,教微积分。1935年又升为教员,这期间,他除了对高等数学基础 知识全面认真学习之外,对数论尤有兴趣,曾受到杨武之教授的指点。1936年法 国数学家阿达玛和美国数学家维纳来清华系统讲学,好学勤奋的华罗庚使他们深 深感动。1936年,在维纳推荐下华罗庚以访问学者身份去英国进修,在剑桥大学 受著名解析数论学家哈代的指点。至此,由于他顽强的努力和众多专家的引荐, 他终于登上了数学研究的世界舞台。在这里,起根本作用的是他自强不息的精神, 即他所说的,要“锲而不舍,持之以恒”,“勤奋刻苦”。诚如他于1980年3月 的一次为别人的题词:“苦干猛攻埋头干,熟能生出百巧来。勤能补拙是良训, 一分辛苦一分才”。我到他家或办公室去,总是看到桌上铺满了书籍和草稿纸。 1978年他已身背氧气瓶,我到北京医院去看他,他正躺在床上计算分圆单位,寻 找新的恒等式,亲手把布满公式的一个笔记本交给我。后来,裴定一和我完成了 他的一个想法,尽管他和王元都参与过这项研究,他让裴和我发表了(1980年), 这是他(在病床上)指导我的最后一篇论文。我还要讲一件事,那是在78年前后, 我去北京时中午常在他办公室休息。每天午睡前都要从一个布袋里随机地抽取五 封信读读,那是从全国各地寄给他的。多数表达了人们对他的热爱和敬仰,其中 也不乏溢美之词,有些甚至到肉麻的程度。他逝世后,中科院数学所在他办公室 里整理出足足四麻袋草稿纸!这些年来,我常把这个故事讲给年青人,希望他们 不要只看到那个布袋,不要只看到他的成绩和荣誉,而那四个麻袋是他劳动和汗 水的化身,才是他的真正价值。当前改革开放的形势为年青人创造了更多的机会, 但也助长了某些人逃避艰苦的思想。我相信,任何一种真正的事业都是通过艰苦 劳动得来的,我这种坚定的信念来源于华罗庚老师的榜样:尽管他是天才,他仍 然勤奋了一生! 四 华罗庚非常强调基本功的重要性。首先,他舍得在基础知识上多花工夫,他说 “在中学时,别人花一小时,我就花两小时。而到工作时,别人花一小时解决的 问题,我有时就可能用更少的时间去解决了”。他多次对我们讲过,他花了整整 两年去念了Weyl的《群表示论》一书,一直到他认为真正念懂了,并且化成了自 己的语言—矩阵,然后作为工具研究多复变函数,写了《典型域上调和分析》一 书。“基本功要练成什么样呢?”他说“要练得很熟,熟了才能有所发明和发现, 熟能生巧,在练基本功时最忌讳好高婺远,不要怕粗活,不要轻视点滴工作。轻 视困难和惧怕困难是孪生兄弟,往往会出现在一个人身上,例如有人轻视复杂的 计算,实际上是惧怕计算。我看见过不少青年,眼高手低,浅尝辄止,匆匆十年, 一无成就。”他把练基本功比喻为练拳,要“拳不离手,曲不离口”。 他鼓励年青人,做学问要勇于和强者较量。为此,他把“班门弄斧”这句成语反 其道而行之,主张“弄斧必到班门”。只有和强者较量才能增长见识和做出高水 平成果。另一方面,他又强烈主张不迷信别人,“只是跟着别人的脚印走路,那 就总要落后别人一步”,“在科学研究中最主要的精神之一是创新精神”。他多 次对我们讲,要做出好的文章,关键是要有几手自己的“招路”和“拿手好戏”, 别人都不如你,这样你才能做出新的东西,人家才注意你。华罗庚的这一治学思 想对他的学生影响极大。前面说过,华罗庚对矩阵工具的纯熟使他在数学的多个 领域中都取得国际水平的成就,并使研究工作有他自己的特点。曾肯成先生曾有 一句戏言:“龙生龙,凤生凤,华罗庚的学生会打洞”,所谓“打洞”即指矩阵 对角化,使非对角元素均为零。又如:他对于体的研究也是很独特的他发现了体 一些别开生面的恒等式,由此出发建立了体上许多新奇结果。这种方法经曾肯成 又传李尚志,使李尚志近年来在体上典型群的极大子群研究中得出国际上最完整 和系统的成果。华罗庚用矩阵工具发展出矩阵几何,并用来研究模形式理论,他 和他的学生万哲先写了《典型群》一书。在六十年代,万哲先带领学生们用限域 上典型群理论系统地构作试验设计方案,近来又用于编码理论。在解析数论方面, 他的许多世界一流的贡献归结于他对数论工具的创新。他还和王元一起发展了近 似计算的数论方法(国际上称为华—王方法)。这一切表示出华罗庚的数学研究 有一种鲜明的个性,具有从庞杂中看透本质的深刻洞察能力和一种数学大家的风 范,体现着勇攀高峰的强烈创新精神。这种风格深深地影响了下几代而形成“中 国学派”。 五 华罗庚对于中国的数学教育和科学发展倾注了极大的热情,也发表了许多精辟的 见解。他多次为全国各地中学生和中学教员做演讲,是中国数学竞赛的创始人之 一。1981年他访美六个月,受到48个大学的邀请,访问了其中26所美国大学,感 触颇深,写了一个汇报。在汇报中他对于中外的数学教育作了对比,对于中国的 教育和科研提出许多中肯的意见。这里只举几个例子,他认为,“中国人一般刻 苦用功,考试可以得好分数,但创造性的思考欠缺,这和国内填鸭式教学有关”。 他极力主张派人出国学习,至于这些人的回国问题,关键不在于“物质上差异” 而在于“安置好他们的工作,让他们发挥作用”。他认为“研究人员应当教书, 有助于他的研究工作和培养新人”,研究所“人数要少而精”。“我们某个所的 党委书记给外宾介绍情况说:我们所很小,只有六百人,云云,已被人传为笑 谈”,“研究员和教授不应都是永久牌的”。对于学术评价,他也有两句名言: “早发表,缓评价”,“努力在我,评价由人”,“我认为这对学术的发展是有 益的,我们以往有许多评价太急,在国外造成不好的印象,在国内我就不知道有 华不等式,华方程、华算子、华定理等第,出来之后才知道那是指的什么,好的 工作,国外人家是不会抹煞的,与其自己这样说倒不如迟十年二十年由人家说去”。 对于目前学术鉴定会过滥和自己动不动就称为“国际水平”的风气,华罗庚的这 些话是很值得深思的。 以上是我想到的华老师的教诲。但我还没有说到他对我更重要更深远的影响,这 个影响在我作学生的时候并没有多少察觉。因为那时我还是未出校门阅历不深的 学生,在我到了中年,经历了社会的风风雨雨,这种影响才显露出来,那就是一 个人应当如何对待困难和挫折,如何选择人生的道路。 我已经说到华罗庚少年和青年时代之艰苦,我也听过华师母泪流满面地诉说,丈 夫远渡重洋去英国求学时,她只身一人在上海照顾两个生病的孩子,可以想象一 个残疾人离开妻子儿女是什么滋味。1937年抗日战争爆发,华罗庚从英国回来, 在昆明市的西南联大作教授。据段学复回忆,他们的讨论班常被敌机轰炸中断, 华罗庚拖着残腿跑路极不方便,有一次被弹片溅起的泥土盖住全身,后来索性住 在农人家里。1946年华罗庚到了美国,1948年成为伊利诺大学正教授,他的数学 研究处在顶峰时期,工作也有了保障,这对于艰苦奋斗了半生的华罗庚,无疑是 极好的人生归宿。然而,他在1950年2月又毅然放弃了优厚的职位,携全家动身 回到新中国,这是他一生中最重要的抉择! 六 对于他的回国,特别是看到或听到他回国后的坎坷经历,国内外数学家历来有各 种不同的看法后评价,他在美国的不少朋友都抱有惋惜之情,华罗庚自己则是充 满信念的。在回国途中,他发表了热情洋溢的《致中国全体留美学生的公开信》, 信中说:“梁园虽好,非久居之乡,归去来兮!……为了抉择真理,我们应当回 去,为了国家民族,我们应当回去,为了为人民服务,我们也应当回去!”1992 年,美国数论学家哈泼斯坦在国际数论杂志《Acta Arithmefiea》上写了一篇纪 念华罗庚逝世的文章,文中说:“如果有许多中国数学家现在在科学的新领域中 作出特殊的贡献,如果数学在中国享有异常的普遍尊重,那就要归功于作为学者 与教师的华罗庚50年来对他国家的数学事业所作的贡献”。研究数学史的美国人 贝特曼写道:“华罗庚一直是中华人民共和国第一流的科学巨人之一,像爱因斯 坦在美国一样,最后成为本国传奇式的科学家,……人们可能会设想,如果他留 在西方,他将可能完成更多的个人研究计划。然而,如果这样做,他就不可能如 他最后30年所做的,在中国发展数学及其应用中起到中心作用”。他的好友赛尔 伯格也说:“要是华罗庚像他的许多同胞那样,在第二次世界大战之后仍然留在 美国的话,毫无疑问,他本来会对数学作出更多的贡献。另一方面,我认为,他 回国对中国是十分重要的,很难想象,如果他不曾回国,中国的数学会是什么 样”。上届美国数学会主席格雷厄姆也说:“华罗庚比起历史上任何一位数学家 来,受他直接影响的人可能更多。” 这些外国人对华罗庚的评价他是当之无愧的。华罗庚于1950年3月16日到达北京, 执教于清华大学数学系,并筹备成立中科院数学所。1952年被任命为所长,一切 工作重新开始。他诸方网罗人材,生气勃勃,工作进展神速,先成立数论组(华 罗庚,越民义,王元,许孔时,吴方,魏道政)和微分方程组(吴新谋,秦元勋, 王光寅,丁夏畦,邱佩璋),后成立代数组(华罗庚,陆启铿,龚升),拓扑组 (吴文俊,张素诚,孙以丰),泛函分析组(关肇直,田方增,冯康),数理逻 辑组(胡世华,唐稚松,陆钟万),概论统计组(张宗燧,戴元本),力学组 (庄逢甘等),计算机设计组(闵乃大,吴几康,夏培肃),他从厦门大学调来 陈景润,亲自领导“数论导引”和“歌德巴赫猜想”两个讨论班,数学所还向全 国开放。从回国到1957年,他的工作受到毛主席和数学家们广泛支持,写了四本 专著,工作十分有成效。他在50年代的许多学生后来为中国数学作出杰出贡献, 或者改行后,在计算机科学等领域成为学术带头人。 七 1957年反右运动中他成了数学所重点批判对象。在1962年,他又以极大的勇气整 顿数学所,提倡在研究实习员中进行基础课考试,成绩太差的调离,并开辟“练 拳园地”以增强学术空气。但好景不长,华罗庚这些作法被说成是“资产阶级的 反功倒算”,使他非常灰心,几次对我们说:“数学所的所长我不干了,没什么 关系,厕所也是所。”于是,他把工作重心转到中国科技大学。从1958年,他的 研究工作明显地放慢了速度,但仍以固有的顽强毅力,在科大重整旗鼓,培养学 生,把王元也带到科大来。并开始从事积分近似计算和统筹优选化等应用性研究 工作。 1966年文革开始,他被抄家,手稿散失,至今没有下落。他遭到多次批判,被罚 打扫数学所的厕所。直到1970年3月4日,周恩来批示要保护华罗庚,将他的关系 转到人大常委,才得以安静。他仍然到全国各地推广优选法。1976年文革结束, 他积极工作,但已年迈体弱,力不从心,患心肌梗塞多次,背起氧气瓶还提出 “甘作人梯”的口号,一直工作到倒在东京大学的讲台上。 1982年,他回忆起刚回国时的心情说:“50年由美国回来时,好象入伍的新兵, 斗志旺盛,一心想在祖国建设中尽一份力”。他为祖国耗尽了最后一份精力,他 的一生有许多好的机遇和顺利的环境,也有不少艰难与困苦。他在任何环境中都 自强不息和勇于开拓,使我们永不忘怀。对于那些艰苦创业的人们,人类历史总 是给予特殊的地位。今天,我们国家的政治和经济上都有很大进步,但也仍有许 多不尽人意的地方,让我们以华罗庚为榜样,克服困难,继续勇敢地向前迈进! ———————————————— 【新语丝电子文库(www.xys.org)(www.xys2.org)】