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　　欧氏几何公理不必是经验命题

　　作者：abada

　　景新在<康德的五指>一文中说，“欧氏几何的公理是综合命题，而且也不是
先验的，必须接受经验的检验，而各定理则是分析命题。只要公理正确，那些定
理就是正确的。”

　　实际上，欧氏公理只有对应于现实，做某种物理对应和物理理解的时候，才
成为经验命题。那时这些公理就对应了物理定律，而不是纯粹的数学公理了。例
如，把欧氏几何中的“直线”概念对应于真空中的光线路径，如此，光线走的是
直线，这个命题结合欧氏几何公理，就是存在对错的经验命题。（在日常生活中，
木匠判断他锯的木条是否“直”，基本方法也是用眼睛瞄一瞄木条线缘，看与木
条一端点到另端点发出的光线是否吻合。这里的基本假设是光线走的是直线，光
线对应于直线。）

　　而在纯粹的数学家眼中，欧氏几何的公理，可以是纯粹的分析命题。希尔伯
特把欧氏几何公理体系进行了完善，证明了这些公理的完备性和无矛盾性。所有
的概念，都从那些基本的、不定义的概念出发，给出严格定义。而那些不定义的
概念，本身可以不对应于现实，而只是由这些概念（符号）之间的关系命题确定
其符号意义。这些概念的意义蕴涵在它们的逻辑演算关系中。把“直线”换成
“汪汪”也无关紧要，只要把体系中的所有“直线”字汇都如此转换即可。如：
“对于任意两个不同的点A、B，存在着汪汪a通过每个点A、B．”，这在数学家
看来没有什么问题，因为他们可以不把这些公理当作经验命题。

　　广义相对论把黎曼几何很好地与物理现实做出了某种对应（如真空光线对应
于四维黎曼时空的短程线）。但在黎曼几何之外，存在许多不能如此对应的几何
学，在数学家眼里，它们没有“错”，就如欧氏几何与黎曼几何在数学家眼中无
对错之分一样。好的物理学家，可以把每种几何学用不同的方式对应于不同的现
实模型，找到不同的应用领域。新数学是一种发现，新数学如何良好地对应某种
现实是另一种发现，虽然这些过程可以是互动的。

(XYS20090401)

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