◇◇新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇ 对常春藤《逻辑思维的登峰造极——康托关于无限的理论》一文的看法 作者：pchu 　　本文主要是常春藤一文的补充，以及帮其中某些"说死了"的命题一把，兼谈 我对哲学的看法。 　　常春藤文中提到"过程的无限"和"量的无限"，并从无限集合（量的无限）出 发，道出了"无限有大有小"的奥妙。我要补充的是，"无限"还可以作为一个相对 实在的数出现，不过本质上只是抽象代数中的一个符号，像i一样可以对之加减 乘除（当然，复代数已经是很著名和"实在"的抽象代数了）。举个小小的例子， 如我们定义多项式X+1的次数是2，而定义零多项式的次数是-∞。原因？通常两 多项式乘积的次数是它们次数之和，为何照顾0乘任何多项式都是0的特点，我们 利用 -∞ + 任何数 = -∞，这就很自然了。 　　由于自然语言概念不精确，同一个词很可能会被用在许多不同的地方，因而 哲学命题表达出来自然模棱两可。但另一方面，我们天天都讲自然语言，用它来 表达问题、帮助记忆定理，肯定也是很有效的。当然，只有在我们已经了解透彻 问题的本质之后，其优势才能体现出来，不可能要求一个人根据一句模棱两可的 自然语言瞬间抓住问题的本质。 　　然后我们来看看常春藤文中提到的康托对角线（也就是Cantor对于"[0,1]不 是可列无限集"，不过正式译名应该是叫"可数集合"才对），也就是我们把[0,1] 中的实数的小数表达按顺序写成一个表之后，根据表中的"对角线"构造出不属于 这个表的一个实数。这个证明的核心在哪里？再了解了常春藤后文关于"一个集 合及其子集族间不可能建立一一对应关系"（原文把前者称为原来集合，把后者 称为导来集合）之后，我们可以指出，重点在于"表"的横向"长度"和纵向"长度" 的势相等，都等于自然数集的势，从而可以构造出一条对角线。注意这里我用的 是自然语言"模棱两可"的描述方式，然而一句话就可以说明问题。为了说明问题 的核心确实如此，我们可以加以推广，证出命题"一个集合及其子集族间不可能 建立一一对应关系"。 　　假设一个集合E和由E中所有子集组成的子集族F之间可以建立一一对应，也 即有这样一个映射f。那么我们开始构造这个"表"。注意，这严格来说不是一个 表，因为其横向"长度"不一定和自然数集的势相等，它的"列数"有可能比所谓的 "无限列"还要多。因而这个"表"其实是一个函数B，其"横坐标"x和"纵坐标"y分 别是E中的元素，这样一来横向"长度"和纵向"长度"的势就一样了。对于x,y属于 E2，B(x,y)就是表中的一格。这一格里面我们只填0或1，根据x是否属于f(y) （后者是E的一个子集）来确定。这样一来，集合{有序对(x,0或1),当x遍历E}就 把f(y)里面有什么没有什么都说得一清二楚了，它的角色就和康托证明的表中的 一行（亦即某实数的无穷小数表达）一样了。现在我们来取它的"对角线"，构造 集合{有序对(x,0或1但不是B(x,x)),当x遍历E}，这就描述了F的一个元素，也就 是E中某个元素z经过f后的像。但是问题出现了，根据这"表"的构造方法，如果z 属于f(z)，B(z,z)=1，然而上述集合里面对应项是(z,0或1但不是B(z,z))=(z,0)， 这样它所描述的集合里面是不包含z本身的；反之亦然。 　　这个证明从本质上并不比康托对角线复杂，所有的技术细节都是为了把证发 推广，把这个"画不出来"的"表"表达出来，以及用B的语言表达出"如何取出对角 线"的问题。 　　我们反观常春藤文中的证明，可以说既不直观也不容易理解。（引文如下） 　　设A为一个集合(不管有限或无限), D为它的导来集合,若A 同D能建立一一对 应关系,使得A 的任何一个元素a 对应于D 的一个元素(实际上是A 的一个子集) d_a, 于是: 　　(1), a 属于D_a, 和 (2), a 不属于 D_a 　　这两个关系必有一个成立. 　　记集合A中使得关系(2)成立的元素a的全体为 d^*, 它必不为空集合.因若不 然, 关系(1)对A的所有元素成立. 取A的a, b两个元素组成A的一个子集, 记为t, 它是D的元素, 理应对应A的一个元素,非a, 即 b. 设为a, 它也是A确的一个子集, 因而也是T的一个元素, 它必定对应于A的a, 因之, A的a 既对应于D 的(a, b), 又对应于D 的a, 这就矛盾. 因而A中元素适合关系(2)所组成的集合d^*不是空集. 　　因d^*是A的一个子集合,因而也是D的一个元素, 于是A 中必有元素a^* 与 d^* 对应. 在这对应下, a^* 属于d^*, 或者a^*不属于 d^*, 两者居一. 　　1, 若 a^* 属于d^*, 则由d^*的构成, 它的元素按规定,都不能属于d^*; 　　2, 若 a^* 不属于d^*, 则由d^*的构成, 它的元素按规定,都应属于d^*; 　　到此左右碰壁,其原因是认为A 同A的导来集合D一一对应.可见前提不确. 证 明完毕 （引文结束） 　　当然并不是说这种证明不可取、是错的，而是说自然语言或者哲学表达有时 会有化简表达或者引导思维解决问题的效果。上述证明的本质是什么？是罗素的 理发师悖论。我们来用自然语言和理发师悖论的情景来改写这个证明： 　　假设有一村人（可能有无限个，呵呵），每个人都有本本子，记着自己可以 为之理发的那些人的名字。有个理发师说，我只为那些不能为自己理发的人理发， 他的本子里就写有这些人的名字。有趣的是，这村人任何可能的组合（子集）都 必定写在某个人的本子里，因而这样的一个理发师必然存在。之后悖论就发生了， 没有人知道他能不能为自己理发。（顺便一提，我们不需要担心他的本子是空的， 因为这样一来他自己就不在本子里了，也就是说他能为自己理发，这怎么可能呢？ 这个推理过程包含在理发师悖论里面，无须另外讨论。） 　　我敢说没人证明命题时，是一步到达最终的形式表达的，而是要经过一个摸 索思路和问题本质的过程。如果我们用自然语言或者哲学表达把以前遇到过的这 种思路，或者解决问题的逻辑顺序表达出来，由于大脑对这种表达比较熟悉，当 再次遇到类似的问题是，可以有触类旁通的效果。这并不是什么可有可无的取巧， 而是有着切实的效果，时不时让人产生"证明很巧妙/漂亮"的感觉的。 （http://www.matrix67.com/blog/archives/1201）然而它的缺点是，一者并不 保证你不会"触类旁通"了一个错的命题出来，二者不会指导你深入研究的方向。 常春藤文中还说到：（引文开始） 这两个定理帮助澄清了关于无限常见的一些模糊理解.例如: 　　1. "无限是由有限生成的,例如: 1, 2, 3, 4, …, n, n+1, n+2, …., 生成无限". 　　不对! 实际上这样依靠扩展的方式只能生成可列的无限, 而[0,1]中全体点 就不可能靠点的无限选取的办法得到,因为它只能得到[0,1]中的可列无限的点集, 不能同[0,1]中全体的点一一对应.更何况[0,1]中全体的点组成的集合的导来集 合更加不可能从有限经扩展而生成. 　　2. "[0,1]线段上的点是无限的,但装在有限长的线段上,说明无限和有限 可相互转化". 　　不对! 即使不去追究"无限到有限转化"的准确含义是否科学,拿线段上的 点的全体作为无限的集合的代表也完全不对.因为从线段[0,1]的全体点出发可得 到无限程度更高的无限集合,更可依同样办法(导来集合)无休止的得到无限程度 更高的无限集合,这些无限集合无论如何不能用线段上的点集表示出来,或者说不 能装进有限的线段中. 　　3. "稠密的无限比稀朗的无限程度来的高". 　　不对!从解析几何知识可知,直线上的有理点是稠密的(即任何两点之间必然 存在无穷个有理点),而整数点却是稀朗的.但它们之间可以建立一一对应(Cantor, 1874),它们的无限程度是一样的,它们的势都是?_0. 即使是分布更稀朗的无限点 集,例如坐标为:(1000)^1, (1000)^2, (1000)^3, ….,(1000)^n, …., 的点的 无限集合,它的无限程度同稠密的有理点集合一样,它的势也是?_0. （引文结束） 　　这些"不对！"何以有周旋的余地呢？还是由于自然语言的模棱两可。所谓" 无限是由有限生成的"，如何谓之"生成"？难道只能说是lim_(n -> +∞) {k属于 自然数集，k + ∞){集合{k属于自然数集，k +∞) {0.a_1 a_2 ...a_n,其中a_k均从0到9中选}？这两个例子可都"生成"了不可数集。 常春藤真正想说的是，并非所有无限集合都可以通过依次选取元素来生成。这听 起来像是一个"注意事项"：虽然我们可以绕点路"生成"不可数集，但大家留心不 要一头撞上去，以为依次选取无限次就可以。事实上，"无限是由有限生成的"帮 助记忆了什么？我觉得是数学归纳法。 　　第二句听起来也像是一个"注意事项"，又或者提示了类似于Arctan的变量代 换？后者有时候是关键的一步，但总体来说，这句话说法很松（"可"相互转化）， 说它"不对！"理由也不够充分。不过"万能理论"往往什么也没说，我把任何无限 集合都映射到0上面，是不是也算"相互转化"啊？ 　　第三句原句是明显的误解，驳斥"不对！"自然也是无话可说。 　　最后作为总结，首先我还是要重申，在"无限集合"里出现的"无限"并不能完 全代表意义模糊的"无限"一词。说数学把"无限"的概念变得实在，这说法有点过， 数学家只是从一个意义空泛但日常常见的概念里找到了一个有用的方面（这个概 念的这个方面先是很自然地被大量使用，而后数学家才被迫给予它的这个方面一 个定义的），加以提炼创造出数学上集合基数方面的"无限"的概念。其次，使用 自然语言和模糊的概念有时可以突出概念背后的逻辑关系和（证明命题时的）正 确的推理顺序，但一般只有遇上类似的命题时才能发挥威力，可以说只对人类有 效，机器证明那是另一回事了。 (XYS20090131) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇