◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇ 　　从黎日工《也谈哥德尔定理》再谈到考试悖论 　　作者：abada 　　先挑挑黎日工《也谈哥德尔定理》一文中的刺： 　　1、看其文可知其题所指的“哥德尔定理”应为“哥德尔不完备性定理”， 因为哥德尔还有“完备性定理”，单说“哥德尔定理”，就不知道指的什么。不 过黎日工的这种说法也无所谓不严谨了，因为基本上快要约定俗成了：通常说哥 德尔定理，指的就是哥德尔影响最大的两个“不完备性定理”。 　　2、其文说音乐有完备性，为大谬也。音乐有节奏、旋律、音色等等各方面 的要素，单单说音乐旋律的音高的记谱，也从来没有完备过，更不要说别的了。 　　举例来说，比工尺谱、简谱相对要完备一些的五线谱，在音高方面只能记平 均律的半音阶的音高，也就是普通钢琴键上能奏出的音高。对于微分音，则难以 准确记谱。钢琴是把八度分为12个半音，这些音在五线谱上有完备的方法记录。 而微分音有比半音还小的音高差，在许多民间音乐，特别是阿拉伯、印度音乐中 大量出现，五线谱难以准确记录。 　　20世纪的现代派专业作曲家，有使用把一个八度分为24个半音的微分音钢琴 的，专门做微分音音乐。我本人甚至尝试作过“连续音流的赋格”，旋律音高频 率是连续变化的，就象手指在提琴弦上连续滑动奏出的无离散固定音高的“旋 律”，而这些连续音流在电脑上却可以做各种结构处理，形成有意思的音乐结构。 这些连续音流，比起微分音，更无法用传统记谱法记谱，甚至不可能记谱。 　　下面，我再从哥德尔不完备性定理谈到考试悖论： 　　哥德尔不完备性定理实际上说的是在数学上、逻辑上，有限的公理不可能概 括无限的经验事实。 　　它说明了理性、逻辑的有限性。而黎日工文最后所强调的实际上就是：有限 的限度在哪里，我们并不知道。正如我们肯定知道奥运会短跑比赛的速度肯定有 上限，我们甚至可以肯定人跑不过声音，但由于我们并不知道具体的极限，所以， 比赛、提高仍然不能放弃。数学、逻辑、理性也一样，我们知道是有限的，但我 们还要努力使之进步。我们总能发现新的数学中原有公理不能概括（即不能逻辑 地推出）的数学猜想（经验），那么，我们就可以将之作为新的公理补充进数学 公理体系，但在此之前，我们还需要努力证明之，或努力证明其不可证明。 　　然而，有限的公理不能概括无限的经验，却是事实。有名言说：理论是灰色 的，而生命之树常青。关于理性与理性的局限，网友大诗有一篇文章很好，我附 在后面。 　　哥德尔不完全性定理说明了在有限的公理下，有许多（无数）数学经验命题， 原则上无法逻辑地判断其真假。我们可以说这些命题是“不确定真假”的命题。 在哥德尔提出不完全性定理以前，有许多人乐观地认为一切数学命题非真即假， 都可以被公理加逻辑判定其真假。 　　不确定性在量子力学里也出现了，量子力学的各种诠释也难以完全避免悖论。 其中有一派认为问题出在传统逻辑上，他们改革传统逻辑，构造多值逻辑，以便 更好地诠释量子力学。 　　按照传统逻辑，一个命题只有真、假两个值，可用1和0表示真假；传统逻辑 的排中律认为，一个命题非真即假，非假即真。而多值逻辑学派认为，正是传统 二元逻辑导致对量子力学诠释的困难。他们主张使用三值逻辑，命题除了真、假 二值，还有“不确定”一值。 　　三值逻辑派认为，正是传统二值逻辑、排中律导致了量子力学诠释的困难， 以及许多逻辑悖论。 　　据说目前，只有“多值逻辑”派和“平行多宇宙”派能自圆其说地解释薛定 谔猫佯谬。三值逻辑的出现是有道理的，因为许多实际问题无法用二值逻辑形式 化，使用排中律会带来悖论。这些问题就包括“未来事件问题”，未来事件往往 是不确定的，不能用非此即彼的传统逻辑来确定。 　　我说过的“门槛实验”也说到，假如有完备的有限知识和经验能预测我进门， 那么，我就出门，用行动来说明自由意志的不确定性。由于自由意志是宇宙的一 部分，自由意志的不确定性，也就否定了宇宙的完全确定性和决定论。然而，我 们虽然已经知道自己肯定不可能预言一切，但我们仍要努力尽量能预言多一些， 并不能因此而放弃继续的科学探索，更不能因此而排斥科学。 　　前一段时间这里讨论过的“考试悖论”也可以归结到多值逻辑问题上。反证 法是建立在二值逻辑基础上的，而“考试悖论”中的老师在未来某天是否考试， 则属于不确定事件，不能用排中律反证法，否则就容易出现悖论。 　　附： 　　大诗：理性、理性局限与启蒙 　　理性是有限的。但理性何以是有限的？理性的局限，或者其边界在哪里？这 都是不能回避的问题。 　　关于“理性”和“有限理性”，在不同语境下有着不同的指向。好像汪丁丁 曾有一篇文章，介绍经济学领域的“有限理性”问题。这是一个还比较新的概念， 它基于经济学自身的理性假设的基础而展开讨论，属于经济学内部语境下的问题。 而哈耶克所说的“理性的自负”，渊源要早一点，但它的语境也是在社会理论领 域。要说回到最初，对理性的质疑当然要回到哲学领域，尤其是认识论领域。 　　在哲学上，一般说欧陆哲学的主流是理性主义的，而英美哲学的主流是经验 主义的。陈嘉映在回顾欧陆哲学的时候则说，理性是欧陆哲学的主题词，但在不 同阶段理性的角色是不同的。在启蒙运动阶段，是理性在审判非理性，而到了康 德那里，理性把对手审判得差不多了，因而转为审判自身。这个说法我同意一部 分，但陈嘉映说话时的角度，显然已经是站在欧陆哲学本身脉络的基础上了。如 果跳出这个脉络，我毋宁说，大陆式的思维方式，从柏拉图那个时代开始已经被 锁定为理性主义了。 　　从希腊哲学的传统开始，“形式”被赋予了极高的地位。对于从中国传统中 走出来的人来说，这是一件有点费解的事情。观念的地位高于各种“实物”，是 更为本源、更为真实的玩意。不搞懂这一点，就搞不懂希腊哲学，也搞不懂此后 西方哲学史上的诸多纷争。 　　在今天，从我的眼里看来，西方人的这种怪僻，源自他们对确定性的偏好。 在中国式的传统里面，马马虎虎也就算了，差一点点和一点不差的区别是不大的， 极高度的可能性和必然性也就那么回事。但对于西方人来说，主流的偏好是，一 定要找到一种纯粹的、没有杂质的确定性。 　　前面说过，理性在不同语境下有种种指向。在万科论坛，最喜欢说理性的是 大象，但我一再追问“理性到底是什么”？他就语焉不详了，顾左右而言，说什 么死扣概念是学究的事情。其实不是的，所有的“理性”必然有一种家族类似， 其要点就是“确定性”。 　　“确定性”是一切理性与非理性的最重要区别。在最日常的用法中，如果某 人的想法或行为合乎某种可有确定性结果的方式，我们就称之为理性的，反之， 那种捉摸不透、随心所欲的想法或行为，我们就说是非理性，或是感性，等等。 　　而所谓“合乎某种可有确定性结果的方式”是什么呢？说穿了就是形式化。 形式化的东西，才可以交流、记录和记忆，才可以变成可反复设想的模式。逻辑 就是建立这种模式、确立形式化系统的工具。中国人思考了几千年，始终越不过 一个坎，我们的形式化系统始终是初级的、原始的、日常的。所以我们只有非理 性的哲学，没有理性的哲学，也没有必然以理性为基础的科学，而根子就在于中 国人始终没有建立起逻辑工具，一直到今天，许多中国人的思维模式，在亚里斯 多德那里还及不了格。 　　理性就是确定性。这是理性的价值所在，也是理性的局限所在。近代哲学史 上，经验主义始终无法战胜理性主义，关键在于经验主义无法提供确定性。确定 性只有在理性的领域里才能找到，而我们需要它。所以理性是我们必不可少的工 具。 　　但经验主义击中了理性主义的一个要害，那就是理性中间不包含新的知识， 从纯粹理性中不能得到任何新的知识。而同样，新的知识也是我们所需要的东西。 就像经验主义碰到确定性问题就会语塞一样，理性主义无法回答一个问题，那就 是它的确定性只是过程性的，但它的源头在哪里？ 　　虽然你能保证每一步推导都是正确的，但谁来保证最源头判断的确定性，甚 至，这个最源头判断从何而来？ 　　康德在陈嘉映看来是用理性批判理性，而在我看来只是对理性的一种修补。 他煞费苦心弄出来的所谓“先验综合”，试图同时走出经验主义和理性主义的困 境。但以今天的角度来看，先验综合不过是个迷魂阵，不过是人们共有的一些遗 传性本能而已。 　　康德的问题在于，他认可了经验主义和理性主义的争论，认为这是同一个维 度上的两个极端，而试图做出调和。但事实上，他们根本在不同的维度。它们之 所以会发生争论，不过因为它们都走上了语言的歧途，并同时试图超越自己所在 维度，进入对方领地的缘故。只要给他们划定界限，将二者分别约束在各自的领 域，它们二者之间，完全可以相安无事。 　　是这样，在经验主义和理性主义之间，需要的不是争执，不是调和，而是分 析。 　　经验主义和理性主义各自回答了一些问题。 　　经验主义提供给我们的，是我们和真实世界之间的桥梁。在我们和真实世界 之间，理性是不需要的，我们需要的只是天赋的感受能力，其中包括最基本的判 断能力。我们每个个体能从真实世界中得到的东西，就是经验、事实、我们个体 所能拥有的原初的“真”。通过经验，我们得到求真的材料，这也是我们全部新 知识的源泉。 　　而理性主义提供给我们的，首先是整理这些材料的工具。我们的生命是有限 的，而理性工具可以大大提高我们的效率，其时也就是变相延长了我们的生命。 中国有5000年绵延不绝的文明，然而我们在求真道路上积累的东西，远远不及西 方理性时代之后的200年。原因就在于，我们缺少最基本的思维工具。 　　理性提供给我们的不止如此。也许更重要的是，是理性使得人与人之间的交 流和共同思考成为可能。当我们需要向他人传递任何明确的东西的时候，我们都 必须进行形式化，使之进入理性领域。在缺少理性的人与人之间，没有真正的交 流，只有情感的感染。中国5000年文明，最辉煌的是文学，是诗。因为文学和诗 就是不需要形式化，不需要传递确定性，只要相互感染就大功告成了的。 　　换句话说，理性是一切公共话语得以可能的基础。回到社会领域，我们看到， 一切制度，都是公共话语。所以，没有理性基础的制度，必然是初级的、简单的， 难以适应复杂的社会关系。 　　理性是社会的基础，是制度的基础。在一个没有理性传统的国度，理性的启 蒙或许是必要的。但启蒙以什么方式进行？启蒙的重点是什么？是需要慎重的问 题。 　　我想在其中有两点是关键的，一是理性启蒙的同时，应该强调理性的局限性， 防止理性上升为理神，并导致公共话语对私人空间的侵入。二是应该强调理性的 工具性。启蒙理性的重点在于传授理性思考的方法，建立理性思考的传统，而不 在于输入任何有先验假定的理性体系，如果一定要输入来作为范例，那么，一定 要同时输入初始假设恰好相反的两种，能够让人有所选择、有所警惕。 (XYS20050613) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇