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　　关于爱因斯坦勾股定理证明

　　黎日工

　　东郭先生介绍的爱因斯坦对勾股定理的证明，非常有趣。东郭先生的叙述应
该说是正确无误的。也许写得简洁，乍看之下可能有点丈二和尚摸不着头脑，甚
至感到是一个玩笑。但是，如果你动起手来，在纸上画一下，就能看出其中的道
理。笔者也是画了几张图才搞明白的。

　　这个证明的第一个出发点是：相似形面积之比等于尺寸平方之比。你画三个
同心圆，如果尺寸取为半径，则π乘各自半径平方为各自面积；如果尺寸取直径，
则(π/4)乘各自直径平方为各自面积。因为圆中任何线素都与半径成一定比例，
所以也可以取三圆中互相对应的线素例如三段同心弧段作为尺寸的代表，这时各
自孤段长度平方乘某一个数同样能得到各自面积。如果把同心圆换成其它形状如
多边形、正方形、三角形…，只要中心相似（对应点连线通过中心），都有这样
的性质。

　　这个证明的第二个出发点是：直角三角形有一个独特的性质，弦边高线把直
角三角形分成两个小直角三角形，加上原来的大直角三角形现在共有三个直角三
角形即：勾边小直角三角形，股边小直角三角形及弦边大直角三角形；因为对应
角度相等，这三个直角三角形构成相似形。也就是说，可以把这三个直角三角形
安排成同心位置即中心相似状态，你一定要画一画，就可以看到勾、股、弦都是
直角三角形的“弦边”，正好成为对应线素。于是，根据上述第一点结果，三个
直角三角形面积依次为：

　　勾平方乘定数，
　　股平方乘定数，
　　弦平方乘定数。

　　这里凑巧之处是数学形式恰与爱因斯坦质能公式相同！爱因斯坦能想到此一
思路也许来自他思想上的优势。

　　最后，因为弦边三角形可由勾边三角形与股边三角形拼合而成，两块小面积
相加等于大直角三角形面积，消去定数，就得到勾股定理：勾平方加股平方等于
弦平方。

　　必须一说，只有在直角三角形中存在上述一分为二的分割法，使所得三个三
角形相似。你不可能把爱因斯坦证法直接用到非直角三角形中去。

　　感谢东郭先生告诉我们如此精彩的勾股定理证法，它也让我们有机会再一次
“相对”爱因斯坦。

　　爱因斯坦的想象力不但象领飞的大雁，带领人类飞向宇宙；它也是奇妙的魔
笛，把森林中最美丽的鹿召唤到我们面前！

　　（2005年4月27日）

(XYS20050427)

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