◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇   赵爽当然证明了勾股定理   黎日工   先听abada君意见:   “赵爽‘证明’勾股定理与欧几里德的证明不能相提并论”   “数学(包括几何学)里的定理或命题的‘证明’,是一个逻辑体系的推演 结果,这个体系里,定理证明的前提是有公理体系和逻辑推演体系。显然,欧几 里德的毕达哥拉斯定理的证明属于这样的体系,而中国古代的赵爽或世界上其他 古人的所谓‘证明’,就不见得是属于类似的体系,也就不见得是现代意义上真 正的数学证明。”   照此说来,历史得改写了。根据现在的历史,人类最早证明勾股定理的是希 腊的毕达哥拉斯,他于公元前550年作出证明可惜证明方法已经失传。按abada君 讲法,这后面一句就有问题。因为毕达哥拉斯时代也没有“公理体系和逻辑推演 体系”,所以他的证明即使被重新发现也是打上引号的“证明”,不能算数。这 就奇怪了:这段历史流传至今,在此之前竟然没有一个人发现问题?   我们来到考场上,试卷上正好要证勾股定理。你用欧几里德证法,得了满分; 我用了赵爽的图形法,你能说那不算证明,让我吃个鸭蛋?讲不过去吧!如果今 人用它是证明,为什么古人用它就不是了?这又是一怪:难道数学也讲厚今薄古?   什么叫证明?略言之:我逻辑上一步一步进行说理、叙述、作图…,得出一 个结论;如果在此过程中不发生错误或矛盾,那么,我就证明了这个结论。你不 能因为看不懂说它不是证明;也不能因为我省去简单的及不证自明的步骤,说它 不是证明。只有在一个情况下你可以否定我的证明:你找到了证明中的错误或矛 盾!一个错误就够了!一个矛盾就够了!   abada君认为赵爽的证明不算证明,那就要求abada君出来指出证明中的错误, 指出证明中的矛盾。它在哪里?   或问,“怎么保证那个大正方形就一定能摆成?”,也许赵爽认为那太简单 可以省去或者不证自明,也许他无意中忽略了,你对此有意见,但是,这与错误 与矛盾是两回事。而且,你现在不是很容易用什么“三角形内角和等于平角”及 “平行公理”就把它补全了吗!你也许说,赵爽不知这些!如果有人发问,你怎 么知道赵爽不知?你何言以对?   即使赵爽不知又如何。欧几里德在证明勾股定理的时候,不是也不知希尔伯 特那些“欧氏几何严格的公理化,完备性和无矛盾性”以及更基本的算术公理系 统吗!如果赵爽的证明不算,凭什么欧几里德的就算?公平的话,应该统统不算, 只有希尔伯特的证明才是真正的证明,可是,它在哪里?   再谈东郭先生的结论:“勾股定理的历史验证了杨振宁的理论”,归纳得急 了。即使抓住了赵爽图中的三四五(笔者没有原始证明件,谨以东郭先生语论 之),后面还有《九章算术》,还有刘徽的“出入相补法”,却非研究某一特况。 客观地讲,无论何人一旦发现这个“弦图”,他必定立刻发现:勾股弦关系对任 何直角三角形都成立!倘若我们如此理解:赵爽之所以将弦图画成“勾三股四弦 五”(假定如此),不过是拿最有名的“大禹特况”作一例子而已---好的数学 家喜欢这样做---似乎更站得住脚。   在赵爽之外,确实另有他人发现这样的“弦图”。赵爽之后八百年,印度婆 什迦罗(Bhaskara)也给出了几个“弦图”。只要把赵爽“弦图”中那个最外面 的大正方形去掉,就变成婆什迦罗的一个主要“弦图”了。弦图证法是如此之直 观,婆什迦罗也仅仅把它画出了事,没有用文字加以说明(他一定很惊叹这美妙 的图形)。并没有人说婆什迦罗之“弦图”是一种归纳证法。   至于东郭先生讲的一个情况:   “1983年在湖北张家山古墓中发现一本《算数书》。现在普遍认为其年代大 约是公元前186年左右。里面研究了很多数学问题,包括面积和体积,但是没有勾 三,股四,弦五,没有勾股定理的任何形式的叙述。很难想象一本如此全面的数 学书会漏掉最伟大的定理。一个合理的解释就是那时候中国人还不知道勾三,股 四,弦五,更不用说一般的勾股定理。”   我们的确很难做其它解释。大禹治水时期发现“勾三股四弦五”之说,来自 《周髀算经》(作于公元前100年西汉末年)中商高与周公的对话。周公商高是 公元前十一世纪人物,《周髀算经》所记乃千年往事,可靠与否确是问题。不过, 笔者觉得“勾三股四弦五”发现在大禹治水之时到是有很大的可能。因为在这巨 大的活动中人们会碰到无数的定位及测量的问题,这些问题可能引导人们发现或 重新发现勾股弦关系。埃及发现勾股弦关系,时在建造金字塔年代,大概有同样 的因素。   另外,脆弱先生把中国与希腊双双搬出地球一举,有趣至极。一旦希腊先与 地球联系上了,相互“幽浮”来往如同从上海飞到纽约,那地球与希腊星球就结 成文明同一体。这样一来,岂不又剩下中国一家飘在天上了!   有话再谈并谢脆弱,东郭,abada三位意见!   (2005年4月11日) (XYS20050412) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇