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　　小时降雨概率的计算

　　小张

　　前两天在新语丝上写了篇短文“也谈降雨概率”，对山人提出的降雨概率问
题定性地提了一点儿意见。一位朋友看过后要我给出具体的概率计算公式，于是
写了本文。

　　山人的问题是：小时降雨的先验概率是0.1、日降雨的先验概率是0.4，如何
计算各种情况的小时降雨概率。本文不考虑山人提出的预报准确率，因为已经指
出过：日降雨预报和小时降雨预报不可能都是80%。

　　这个条件很容易被人误解。看到小时降雨的概率是0.1，一些人立刻得出：
“连续k个小时降雨的概率为0.1的k次方”和“小时无降雨概率为0.9，则连续k
个小时无降雨的概率为0.9的k次方”等错误的结论。错误的原因是以为小时降雨
问题是一个等概基本事件组（或属于古典概型），而实际上并不是，因为还有日
降雨验概率为0.4这个条件，雨天和无雨天的小时降水概率显然不同，因此不能
从总体上将小时降雨问题按照等概基本事件组处理。当然在一天之内可以（也应
该，见下一段）将小时降雨约定为等概的基本事件，但此时的先验概率就不是
0.1，而是0（无降雨日）或0.25（降雨日）了，我们通常是在不知道当日是否降
雨的条件下讨论问题的。

　　因此我想，不如将山人的问题中的条件改为：日降雨概率为0.4，雨天的小
时降雨概率为0.25。说得完整一些是：①在将每日是否降雨视为基本事件时，这
些基本事件相互独立且降雨概率都是0.4；②在将每个小时是否降雨视为基本事
件时，在降雨日内，这些基本事件相互独立且降雨概率都是0.25。

　　改动后的条件没有违背山人的原意，但好理解一些，可能就不会有人认为两
个先验概率有矛盾，或轻易地得出每个小时的降雨概率都是0.1的错误结论。

　　也许有人会抬杠说：上述假设并不符合实际，实际情况要复杂得多。如果这
样讲，这个问题就很难纳入古典概型范畴了。这就像概率论中的掷骰子问题，我
们总是假定骰子的每个数字朝上的概率是1/6，如果有人非要说骰子不可能严格
达到正六面体并且质量均匀，你当然不能说不对；只能说，这不是出题人的本意。

　　在不知道当天是否降雨时，我们不能直接用0、0.1或0.25直接计算小时降雨
概率。我认为一种正确的算法是：某一小时的降雨概率＝当日有降雨的概率×降
雨天的小时降雨概率。降雨天的小时降雨概率当然是0.25，而当日有降雨的概率
与前n-1个小时是否降雨有关。因此问题的提法应该是：在上述两个条件并且已
知此前的n-1个小时是否降雨时，当日的第n个小时的降雨概率应该如何计算
（n=1,2,…,24）。以下是计算结果：

　　n＝1时（对当日第一个小时），当日有雨的概率＝0.4，因此第一个小时的
降水概率是0.4x0.25＝0.1；

　　n＝2时(对当日第二个小时），如果前一个小时已经降雨，则当日有雨的概
率＝1，第二小时的降雨概率将是1×0.25；如果前一个小时未下雨，则当日有雨
的概率＝(23/24)×0.4，第n小时的降雨概率为(23/24)×0.4×0.25——这时已
知本日有一个小时不下雨，因此当日有雨的概率不再是0.4，而是打了一点儿折
扣，减少了1/24。

　　同理，对当日第n个小时，若前n-1个小时有过降雨，则本小时降雨概率为
0.25；若前n-1个小时无降雨，则第n小时的降雨概率为(24-n+1)/24×0.4×0.25。

　　从计算结果可看出，在不知道当日是否下雨时，每一小时的已知条件随n改
变，因而当日有雨的概率和第n小时的降雨概率也随之改变，并不固定。

　　连续两个小时降雨的概率是将上面的数值再乘0.25。 

　　以上的计算不知山人能否认同。匆匆写成的东西往往经不起推敲，希望山人
和其他高明者不吝赐教。

　　写到这里，上网看到了奥卡姆剃刀对我前天文章的反驳，就再说几句。

　　首先感谢奥卡姆剃刀指出，我说的没有协方差函数这个概念的话是错的，确
实是本人孤陋寡闻。

　　但是对于先验概率（或称验前概率）这一基本概念，希望奥卡姆剃刀再查一
查教科书，看看是我曲解了还是自己错了。本文中我特地使用了这个概念。相关
系数和协方差分析在教科书中通常是在统计学部分而不属于概率论，我没有批评
错吧。至于其它错误请看本文第三段。当然，我说的也未必对，欢迎再反驳。

(XYS20080730)

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