◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys1.dyndns.org)(xys888.dyndns.org)◇◇ 数学与数学家的故事: 读 P. 埃尔笛希 贺一 P. 埃尔笛希,(1913 -1996)"The Man Who Loved only Numbers---The Story of Paul Erd?s and the Search of mathemetical truth" by Paul Hoffman. Fourth Estate Limited, 1998) 美籍匈牙利数学家,(Erd?s---按其正确的读音,译作埃尔笛希)这是一个不是数 学家的人所写的数学家。埃尔笛希有不少故事,确实是比较个别的。但书中除了 我们以前所看到过的,如“一个心不在焉的数学家的故事”所乐道的那类轶事之 外,也很有一些有趣的。 埃尔笛希一生发表过1475篇学术论文。许多篇是有重大意义的,所有的都是有意 义的。(Many of them monumental, and all of them substantial)。数学家们 用埃尔笛希数来表示与埃尔笛希的合作关系。他有过485个合作者,这些数学家 的埃尔笛希数就是1.如果你和这485个数学家中的一个合作写过数学论文,你的 埃尔笛希数就是2,余类推。 --数学是最纯粹的秩序和美,是超越物质世界的秩序。当欧几里德在公元前三世 纪时说到点和线时,他指的是理想元素:没有大小的点和没有宽窄的线。 --数字也有一种超越性。素数是只能被1和自身整除的数,如2,3,5,7,11, 13,17等。我们正好有十个手指,所以用十进制。但即使有着二十六个指头,从 而用26进制,有同样性质的素数也同样存在。素数是数字的元素。所有的数或者 是素数,或者是素数的乘积。 --目前为止(1998),最大的素数2的3,021,377次方减1,是一个909,526位数。 这个素数是在一九九八年一月二十七日,由GIMPS-(互联网莫尚素数大搜索 --Great Internet Mersenne Prime Search)的一个成员,加州大学二年级学生, 19岁的饶兰·克拉克森发现的。其实他只是GIMPS的4000多个成员组之一中的一 个成员。在GIMPS中,他侥幸地分到了这个搜索的数字段。在一台200MHz的奔腾 机上,在运行程序46天后,终于证明这是个素数。 -- 莫尚素数得名于莫尚,Mersenne,十七世纪巴黎一个修道士。他修道之余或之 中经常地寻找素数。莫尚数即形式如:2^n-1的数。一个莫尚数是素数的条件是n 必须是素数。但n是素数并不代表这个莫尚数是素数。比如2^11-1=2047=23*89。 莫尚曾声称 2^67-1是素数。250年无人质疑。到1903年,哥伦比亚大学的法兰克。 科尔在一次美国数学学会的会议上,“他走向黑板,默默地拿起粉笔,写下 2^67-1=147,573,952,589,676,412,927。然后,继续默默地在另一边写下: 193,707,721*761,838,257,287。热烈鼓掌中,科尔安静地走回自己的位置。 整个过程他无一言,大家无一个问题。“莫尚的猜想从此消失了”(据另一位数学 家的回忆) --数学家们对素数一直有着魔般的魅力。尽管看起来如此简单,但其所有的特性 却极其难以把握。1742年克里斯提安.哥德巴赫提出著名的哥德巴赫猜想:所有 的大于二的偶数都是两个素数的和。埃尔笛希说其实笛卡尔比哥德巴赫更早提出 这个猜想,“不过,最好还是算给哥德巴赫”,埃尔笛希继续说,“因为从数学 上说,笛卡尔富得无边而哥德巴赫穷得可怜”。 -- 对于数字美的迷恋也能出格。毕达哥拉斯学派(毕达哥拉斯--Pythagoras,公 元前三世纪的数学家)就崇拜整数和简单分数。当一个弟子发现根号2以后,(这 对于与中国人的勾股定理争夺三角第一定律的毕达哥拉斯学派来说,从等边直角 三角形到根号2不会遥远),毕达哥拉斯极其恼怒,故事说他先是严厉地,秘密地 警告他不能扩散。在当他最后还是扩散后,没说是出于正直还是其它,毕达哥拉 斯处死了他。按埃尔笛希的说法,这即所谓毕达哥拉斯丑闻(Pythagoras Scandal)。 毕达哥拉斯对数字有很多发现。比如“朋友”数字。毕达哥拉斯认为朋友就是另 一个自我(这很象许多流行的警语,一个精彩的箩筐,能往里放很多喜欢的东西)。 数字里也有朋友,220和284,每一个都等于对方除数的和。(220的整除数有:1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110,和为 248,248的整除数有:1 2 71 142,其和 为 220)。另一对朋友数字是到两千多年后的1636年,由费尔马(Pierre de Ferman)发现的: 是17296和18416。后来的数学家们又发现了许多。值得一提的 是其中大约第六十对,也是最小的一对1184和1210,是在1866由一个十六岁的意 大利学生发现的。毕达哥拉斯更喜欢完美数,即其所有整除数的和为自身。如6 的整除数为1 2 3,其和为 6, 28的整除数为 1 2 4 7 14,其和为 28。除6和 28外,古希腊人还知道496和 8128,第五个完美数33,550,336是七百多年后发 现的。到一九九八年四月,共发现有37个完美数,都是偶数。 --在此书中,有一些中国数学家的名字。但没有陈景润,即使在谈到哥德巴赫猜 想时也没有。事实上也没有多谈哥德巴赫猜想研究的后续进展。但华罗庚的名字 出现过几次,事由是这样的。作为一个匈牙利犹太人,1934年埃尔笛希由于政治 原因离开了匈牙利,开始了他的“数学”流浪--以数学为能量的位置的迁移。先 在英国四年。在剑桥接识哈代(G. H. Hardy)。后到美国,若干年后流浪不再仅 以数学为能量了。由于他与匈牙利的联系和冷战的加剧,FBI对他变得很有兴趣。 1954年,为参加阿慕斯特丹一个数学会议,埃尔笛希行前申请回程签证。移民官 员的问题有这些:“你读过马克思,恩格斯或斯大林吗?”,“你怎么看马克 思?”等等。 对于前者埃尔笛希简单地答没有,对于后者他说“我没有资格作判断,但无疑他 是伟大的人”(" I'm not competent to judge, but no doubt he was a great man")。这样的回答显然不好,但事实上是下一个问题更致命。问题是:“如果 回到匈牙利,而且能再离开,你会访问匈牙利吗?”。“当然,我的母亲在那里, 我有许多朋友在那里。” 在麦卡锡的年代,承认想去共产党匈牙利是不行的。 埃尔笛希申请回程被拒了,经过律师的上诉也失败了。不过律师看到了埃尔笛希 的卷宗,被出示了埃尔笛希给华罗庚的信。那种典型的埃尔笛希信:“亲爱的华, 设P是一个奇素数,而...,”然后是很多很多数学符号,不错,的确很像密码。 埃尔笛希辞去工作,被收回绿卡,起程前往阿慕斯特丹。但荷兰和英国都不容他 久留,还是以色列后来收留了他。埃尔笛希不放弃匈牙利互照,拒绝成为以色列 公民。 1955年后,埃尔笛希访问了匈牙利。执政者,被匈牙利的数学家们说服, 给他以特殊的护照,可以任意出入匈牙利。1656年匈牙利事变后的卡达尔也给他 保留了这个特殊护照,这是只对埃尔笛希一个人的。 到1959年,埃尔笛希又得 到签证去美国参加数学会议。条件是必须有人在美国全程陪同,而且会议一完, 立即出境。埃尔笛希和他的美国同事们一直在争取他的自由居留。1963年埃尔笛 希回到美国,而且以后每年回匈牙利。 ---作为外行,我可以体会数字美的简明和一致,特别是在经历人生美的多变和 暂在时。但自己经常不清楚理论数学的实际意义。读一遍后还是。比如,据数学 家们的数学统计,现在每一年发表的数学定理,大约是二十万个。大部份是没用 的,甚至没有人细看的。如果社会资源的使用完全理性的话,比如完全由数学家 们去设计的话,也会这样吗。这里不仅是钱的问题,我明白数学家们所用的物资 资源比别的绝大部份人的类别所用的相比,数量极少而效用极大。但精神资源呢, 人类智力资源最精华的部份呢? 数学与生活的关系可以表现得多采多样。数学和数学家们有时和大众也非常接近, 特别是那种智力题,古今中外,老少都喜欢。电视上有过一个著名的“山羊与汽 车”的问题曾引起过小热闹。题目如下:台上有三个门,一个后边有汽车,其余 后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个,你看 到是山羊。这时,他给你机会让你可以重选,也就是你可以换选另一个剩下的门。 那么,你换不换? 当时有一个在"Parade"杂志上主持"Ask Marilyn"专栏的玛莉莲(Marilyn vos Savant)很受欢迎, (据说她的智商228,是智商的吉尼斯记录保持者).她回答读 者说应该换时,很多读者不同意,包括许多数学家。玛莉莲在下一期专栏给出一 个事件列表说明她的道理,但反对声更多更大了。在几千封信里,反对者占十分 之九,(当然,一般是反对者更有劲写信)。其中有全国健康机构的统计学家,还 有国防情报中心的副主任等等。许多人用词尖锐刻薄,也有一些慷慨激昂。 话说到此,你认为如何,到底换也不换? 这个问题的答案是换。如果你错了,不要生气,因为连埃尔笛希也错了。如果你 知道自己错了,马上就开始思考对方的道理而又不恼怒, 那看来你不像是数学家, 起码不像伟大的埃尔笛希. 埃尔笛希当时可是气坏了。 在第三次为此题目的专栏里( 1991年2月17日)玛莉莲最后是这样说服大家的:假 如当主持人打开那个有山羊的门后,有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个 门中任选一个,有车的概率确实都是%50。但你不是刚到,你有优势,因为主持 人帮助过你了,他为你在其余两个门中作了预选。你换了后,概率就由三分之一 提高到三分之二了。 据书中所言,这个问题经常引起激烈和情感化的争辩,并导致不愉快的结局。读 此书以前我自己也是先搞错了的。也有过头脑发热的争辩。我想,争辩大都是对 自己数学感觉好的人不服气引起的。而偏偏数学感觉好的人在此又很容易错。这 里有些有意识或无意识的心理活动过程. 应用数学和生活的关系要紧密得多. 我运用数学是证明过吃牛肉有道理,就在英 国那一阵疯牛病很吓人的时候.我的理由是据所有可见的证据, 吃牛肉而引起人 体病变的几率约为几百万分之一, 远远低于开车引起车祸的几率. 这些都是所谓 "小概率"事件. "小概率"事件也应该考虑, 但不应该干扰正常的,既定的生活. 车既然照开, 则牛肉是该照吃的. 几次三番, 别人不知信不信, 我自己倒被自己说服了. 于是牛肉是照吃不误的, 同理现在羊肉也照吃.当然很年轻的朋友们还是应该比较珍重自己的.过份与否心 里有数就行了. ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys1.dyndns.org)(xys888.dyndns.org)◇◇