◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys1.dyndns.org)(xys888.dyndns.org)◇◇ 陈省身:数学是有很强活力的 《科学时报》2002.8.20. 正像所有的预测一样,对数学未来的判断也将是一件“冒险”的事。尽管 变数是可能随时出现的,而最现实的途径是相信权威,像把一道数学难题推给数 学家一样,对数学未来的描述我们求助于他们。为此,本报记者采访了在各自领 域有着重要贡献的数学家,其中包括在国际数学界享有盛誉的数学大师陈省身。 他们这样描述数学的未来…… 本报记者 王静 整理 数学在19到20世纪有很大的发展,一般来讲,它是有连续性的,有一个主要 的主题,然后由这个主题向各方面推展,有基础方面的澄清,有向各方面的应用。 最近,数学和理论物理的关系、数论方面的重大发展、计算机的引进在数学上引 出了新问题,等等,对老问题有很多帮助。种种迹象表明,数学是有很强活力的, 所以21世纪有很多事情要留给大家做。 近些年来,中国的数学有很大进展,怎样根据这个进展,再向前推一步呢? 20世纪20年代法国有很伟大的数学家,如皮卡、阿达马、蒙泰尔,那时他们都老 了,他们的工作方向都是复变函数论,与近代数学,像抽象代数、拓扑都失掉了 联络。那时候法国一些年轻的数学家觉得不一定要跟这些老先生学,决心自己念 书,自己发展。这就是后来出现的有名的布尔巴基学派,他们在数学的发展史上 起了很大作用。 在此,我还想讲个故事:有些人可能会想,数学家们一天到晚没有事情可做, 无中生有,搞这些多面体有什么意思?我认为,现在化学里的钛化合物就跟正多 面体有关系。这就是说,经过2000年之后,正多面体居然会在化学里有用,有些 数学家正在研究正多面体和分子结构间的关系。我们现在知道,生物学上的病毒 也具有正多面体的形状。这表明,当年数学家的一种“空想”,经历了这么长的 时间之后,竟然是很“实用”的。 不做主流也无妨 现在谈谈主流数学与非主流数学的问题。大家知道,数学有很多特点。比如 做数学不需要很多设备,现在有电子邮件,要的资料很容易拿到。做数学是个人 的学问,不像别的学科必须依赖于设备,大家争分夺秒在一些最主要的方向上工 作,在主流方向做出你自己的贡献。而数学则不同。由于数学的方向很多,又是 个人的学问,不一定大家都集中做主流数学。1943年,我在西南联大教书,那年 我应邀从昆明到普林斯顿高级研究所,该所靠近普林斯顿有一个小城叫新不伦瑞 克,是新泽西州立大学所在地。我到普林斯顿不久,就在新不伦瑞克参加美国数 学会的暑期年会。由于近,我也去听听演讲,会会朋友。有一次我和一位在美国 非常有地位的数学家聊天,他问我做什么,我说微分几何,他立刻说“It is dead(它已死了)”。这是1943年的事,但战后的情形是微分几何成了主流数学。 因此,我觉得做数学的人,有可能找到现在并非主流、但很有意义、将来很 有希望的方向。主流方向上集中了世界上许多优秀人物,投入了大量的经费,你 抢不过他们,赶不上,不如做其他同样很有意义的工作。我希望中国数学在某些 方面能够生根,搞得特别好,具有自己的特色。这在历史上也有先例。例如第二 次世界大战以前波兰就搞逻辑、点集拓扑。他们根据一些简单公设推出许多结论, 成就不小。另外如芬兰,在复变函数论上取得成功,一直到现在。例如在拟共形 映照上的推广一直在世界上领先。因为他们做的工作,别的国家不做,他们就拥 有该领域内世界上最强的人物,我还可以举出更多的例子。 最近一个时期最热闹的数学即当前的主流数学是什么?刚才我说过我并不喜 欢大家都去搞主流数学,不过主流数学毕竟是重要的。所谓主流数学,是指一个 伟大的数学贡献,深刻的定理,含义很广,证明也很不简单。如果在当前选一个 这样的贡献,我想那就是阿蒂亚-辛格指数定理。阿蒂亚是英国皇家学会会长。 他来过北京,还作过报告。这个指数定理可看成是上面所谈问题的近代发展,即 将代数方程、黎曼曲面、亏格理论等等从低维推广到高维和无穷维。 因此,我觉得数学研究不但是很深很难很强,而且做到一定的地步仍然维持 一个整体,到现在为止,数学没有分裂为好几块,依旧是完整的。尽管现代数学 的研究范围在不断扩大,有些观念看来比较次要,慢慢就被丢掉了,但基本的观 念始终在维持着。 中国数学的根必须在中国现在我讲21世纪的数学,也就是要讲中国的数学该 怎么发展,如何使中国数学在21世纪占有若干方面的优势。办法说来很简单,就 是要培养人才,找有能力的人来做数学,找到优秀的年轻人在数学上获得发展。 具体一些讲,就是要在国内办够世界水平的第一流的数学研究院。中国这么大, 不仅北京要有,别的地方也应该办。 中国科学的根子必须在中国。中国科学技术在本土上生根,然后才能长上去。 可是要请有能力的人来做数学很不容易。我从1984年开始组建南开数学所。开始 想请有能力的人来工作就是了。可是由于种种原因,很难做到这一点。我们办第 一流的研究所就是要有第一流的数学家。有了第一流的数学家,房子破一点,设 备差一点,书也找不到,研究所仍是第一流。不然的话,房子造得很漂亮,书很 多,也有很贵的计算机,如果没有人来做第一流的工作,又有什么用处?我看到 这种情形,就改变想法,努力训练自己的年轻人,培养自己的数学家,送他们出 国学习,到世界各地,请最好的数学家给予指导。我很高兴地告诉大家,这些措 施已经开始出现成效。比方说贺正需,他到美国加州大学圣地亚哥分校跟弗里德 曼学。弗里德曼得过费尔茨奖,是年轻的领袖人物。他亲自对我说,贺正需是他 最好的学生。我还可以提到一些人,这里不一一列举了。 发展数学势必要办够水平的研究院,怎样才会够水平呢? 第一,应当开一些基本的先进课程。学生来了,要给他们基本训练,就要为 他们开高水平的课。所谓的基本训练有两方面。一是培养推理能力,一个学生应 该知道什么是正确的推理,什么是不正确的推理。你必须保证每步都正确。不能 急于得结果就马马虎虎,最后一定出毛病。二是要知道一些数学,对整个数学有 个判断。从前是与分析有关的学科较重要,20世纪以来是代数,后来是拓扑学等 等。总之,好的研究中心应该能开这些基本课程。 第二,我想必须要有好的学生。我们每年派去参加国际奥林匹克数学竞赛的 中学生都很不错。虽然中学里数学念得好将来不一定都研究数学,不过希望有一 部分人搞数学,而且能有成就。我和在北京的一些数学竞赛获奖学生见面,谈了 话。我对他们说,搞数学的人将来会有大前途,十年、二十年之后,世界上一定 会缺乏数学人才。现在的年轻人不愿念数学,势必造成人才短缺。学生不想念数 学也难怪。因为数学很难,又没有把握。苦读多年之后,往往离成为数学家还很 远。同时,又有许多因素在争夺数学家,例如计算机。做一个好的计算机软件, 需要很高的才能,很不容易。不过它与数学相比,需要的准备知识很少。搞数学 的人不知要念多少书,好像一直念不完。这样,有能力的人就转到计算机领域去 了。也有一些数学博士,毕业后到股票市场做生意。例如预测股票市场的变化, 写个计算机程序,以供决策。这样做,虽然还是别人的雇员,并非自己当老板, 但这比大学教授的薪水高得多了。因此,数学人才的流失,是世界性的问题。 相比之下,中国的情况反而较为乐观,因为中国的人才多,流失一些还可以 再培养。流失的人如真能赚钱,发财之后会回来帮助盖数学楼。总之,我们应取 一个态度:中国变成一个输送数学家的工厂,希望出去的人能回来,如果不回来, 建议我们仍然继续送。中国有的是人才,送出去一部分在世界上发挥影响也是值 得的。 我们要做的事是花不多的钱,打好基础,开出好的课。基础搞得好了,至于 出去的人回来不回来可以变得次要些。这是我的初步想法。比方说,参加国际奥 林匹克数学竞赛的人,数学都是很好的,如果他们进大学数学系,我建议立刻给 奖学金。这点钱恐怕很有限,但效果很大,对别人也是一种鼓励。中国的孩子比 较听家长、老师的话。孩子有数学才能,经过家长、老师一劝,他就念数学了。 对好的数学系学生来说,到国外去只是时间问题。你只要在国内把数学做好, 出国很容易。国内做得很好的话,到了国外不必做研究生,可以直接当教授。中 国已有条件产生第一流的数学家,大家要有信心。 培养学生我主张流动。19世纪的德国数学当然是世界第一。德国的大学生可 以到任何大学去注册。这学期在柏林听魏尔斯特拉斯的课,下学期到格丁根听施 瓦兹的课,随便流动。教授也可以流动。例如柏林大学已有普朗克、爱因斯坦, 一个理论物理学家在柏林大学自然没有发展的希望,就不妨到别的学校去创业。 我希望中国的学生、教授都能流动。教授可以到别的学校去教课,教上半年。 各个数学研究院的教授也能互相交换。 张恭庆:数学继续呈现统一融合特征 从人类文明发展的历史来看,数学作为一种严密的逻辑体系和思维方式, 起源于西方。在古希腊文明、欧洲的文艺复兴、产业革命,以至当代高科技的发 展中,数学都起着举足轻重的作用。数学被广泛应用于自然科学、技术科学、社 会科学、管理科学、军事科学;它影响着西方的哲学和艺术;对于人类的宇宙观、 世界观、思维方式乃至经济生活都有深刻的影响。 19世纪以前,数学没有从自然科学中分离出来。许多自然科学家都是数学家; 不少数学家也是物理学家、天文学家,力学家牛顿、高斯等既是物理学家,更是 大数学家。 19世纪末至20世纪初,许多重要的数学问题已抽象出来,需要解决;“工欲 善其事, 必先利其器”。数学分离成纯粹数学和应用数学。纯粹数学研究数学 自身内在的问题,应用数学研究来自其他科学的数学问题。从20世纪前半叶起, 数学家多从事纯粹数学的研究,数学内部问题的研究成为主流。1900年在巴黎召 开的第二届世界数学家大会上,伟大的数学家希尔伯特提出了著名的23个数学问 题,差不多都是内部的问题,迄今还有不少尚未解决。数学如同漂浮于海洋的冰 山,露在水面之上,人们能够见到的是应用数学,埋藏在水面之下的是纯粹数学。 纯粹数学是应用数学的基础,没有基础,应用数学难以发展。公众对这一情况了 解不多,以为数学家研究的问题没有现实意义。当今社会,电脑已走进千家万户, 殊不知,世界上第一台电脑是数学家发明的。英国数学家图林,从理论上提出电 脑实现的可能性,数学家冯·诺伊曼设计出了世界上第一台电脑。 二十世纪后半叶,随着电脑的进步,应用数学以磅礴之势飞速发展。在现代 生活中,电视广播、多路通讯、气象预报、金融保险、CT扫描、药物检验、智能 电器、成衣制造,无一不用数学。至于数学与计算机科学、理论物理、经济学、 信息、生命、材料等科学的交互影响更是日益加深。 数学发展到今天,已形成十多个分支学科,在经过分科研究之后,20世纪下 半叶,数学内部出现融合,许多重大研究成果均体现了数学内部统一性的特征。 数学这种统一、融合的特征在新世纪还将继续。一方面是数学内部各分支学科的 融合,另一方面是它与其它学科之间的融合。当代数学家戴维·曼弗德,曾因在 纯粹数学中代数几何方面的贡献而获费尔茨奖,现在又研究图像识别。在本次大 会中,他将在这方面作1小时报告。 中国近代数学研究开始较晚。到20世纪才有学生出国留学。真正开始从事数 学的研究更晚。这批人中以华罗庚、陈省身为突出代表。中国近代数学大约可分 为两个阶段:文革前和改革开放后。文革与文革前,由于种种原因,干扰很多, 只有很少的人得以在很不安定的环境中做研究。 近20年来,中国重视科学与教育,有老一代为新一辈铺路和开放的学术环境, 出现了一批活跃在国际舞台上的优秀数学人才,他们都是改革开放后涌现出来的。 这次数学大会对我国也是一次人才大检阅,中国大陆有11位将在大会上作报告, 大多数是中青年,很令人兴奋。但应看到,我们离数学强国差距仍然很大。 目前,中国纯粹数学研究较应用数学稍强,这与工业水平有关。很多问题提 不出来。所以,数学家必须努力工作,把力量放在世界数学发展的主流上,把力 量用在我国的经济建设上,朝着世界数学强国的目标一步步走去。 田刚:中国应鼓励年轻人做大学问 可能在大家看来,数学是一门比较枯燥的学问,只是与数字打交道,实际 上,数学在现代社会中的比比皆是,如图像处理及识别,牵涉到许多数学问题; CT扫描,为什么照片是平面图,而人们看到的是立体的图像,这里有一个从立体 -平面-立体的过程,这就用到数学中的Radon变换,与几何有着密不可分的联 系。 说到我研究的几何,几何学是一门比较独立而古老的数学分支,也是数学的 核心部分。从欧几里得建立起几何学的研究,几千年来,已经发展到了一个比较 高的阶段。随着近年来自然科学、社会学科的发展和建构,各种学科之间的界限 越来越模糊,许多基础学科的边缘分支与其他的学科相互交织在一起,发展出一 些新的研究领域。几何学也是如此,代数几何、计算几何,就是几何学和它的 “近亲”——代数学、计算机相联系的产物。近几十年来,几何学与拓扑学结合, 还发展出一门几何拓扑学,即用几何方法去研究拓扑问题的学科。不仅如此,几 何学也同物理学、生物学等相互交叉,我们比较熟悉的生物中的DNA双螺旋结构 就是与几何相关的问题。几何与物理的结合会形成对应关系,因为有些理论物理 问题,如超弦理论,目前尚无法用实验进行验证,就可以利用数学的结果及方法 进行推理验证。 改革开放以来,中国的数学得到了较大的发展。中国有着悠久的历史和良好 的学术文化传统,更有许许多多具有聪明智慧的年轻人,但要使中国成为数学强 国还有相当一段的距离。我们鼓励年轻人研究重要的问题,而不是仅仅靠发表论 文来显示自己的水平,问题的关键是在于文章的学术上的价值和意义。而作为学 校,应该注意培养学生的独立思考能力和创新能力。中国的数学若要实现更进一 步发展,首先需要培养更多优秀的年轻数学家,需要有更多好的学术带头人,因 为如果没有好的学术带头人,就难以形成具有独立且稳定风格的学派,也就更难 以形成自己的学术体系。 ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys1.dyndns.org)(xys888.dyndns.org)◇◇