非欧几何小故事

　　作者：郭学军

　　我们现在通常所说的非欧几何，是指非欧几里得的几何, 也就是不满足《几
何原本》中的平行公理的几何。 这是十九世纪后期的大数学家克莱因所做的分
类。 像球面几何这种从古希腊时期就开始研究的古老的几何学，也被算作非欧
几何。

　　这引起了一些误解， 让人以为欧几里得， 高斯，鲍耶， 罗巴切夫斯基等
等伟大的数学家都是一些榆木疙瘩， 不知道去看看球面，否则他们早就发现了
非欧几何了。

　　其实两千多年间， 无数数学家孜孜以求的是“只不满足平行公理。 而满足
《几何原本》中其余所有公理的新几何”。像球面几何这种， 不光不满足平行
公理， 还不满足其他的好几条公理，所以一开始就被排除在外了。  

　　如果非要从球面看出非欧几何来， 那需要让球的半径是个虚数才行。这个
其实是事后诸葛亮，不可能有谁可以实现这种思维跨越。

　　我们先来说说什么是平行公理。 初中教材上平面几何部分把平面上两条不
相交的直线定义为平行线. 然后说:

　　“通过观察和画图, 可以发现一个基本事实(平行公理):  经过直线外一点, 
有且只有一条直线与这条直线平行.”

　　这种说法, 从某种意义上来说, 非常准确。 这相当于说平行公理只是人们
观察出来的一个规律.  两千多年前的古希腊人, 准确的认识到了这一点, 他们
觉得这件事情“看起来是对的”. 但是也仅仅是看起来是对的, 没人知道到底对
不对.

　　古希腊人有非常高的科学素养, 他们知道有些时候看起来是对的东西, 实际
上并不对. 比如我们在日常的生活中看起来感觉大地是平的,  但是大地实际上
是球形的。 有位非常聪明的古希腊人, 通过观察月全食, 想到了那个掠过月球
的圆形影子, 只可能是地球, 由此推断除了地球其实是个球体.

　　很多古希腊人不肯承认平行公理, 觉得这个公理不可靠, 不严谨, 很有可能
是错的. 他们在地上画了很长很长的线条, 试图检验平行公理到底对不对, 可是
没人能发现什么反例.

　　于是欧几里得就把平行公理写进《几何原本》里去了. 他为什么会冒天下之
大不韪这么做呢? 很简单, 因为这样做很有趣, 有意思, 能够得到丰饶, 美丽的
数学.  如果他不这么做的话, 平面几何就会像撒哈拉沙漠一样贫瘠, 连勾股定
理都没有.

　　虽然古希腊人发现不管在地上画多长的线条, 都看不出平行公理有什么错. 
但是平行公理终究是来自于人类的经验. 这意味着我们需要要回答这样的三个问
题:

　　1. 是否能证明平行公理?

　　平行公理既然看起来是对的, 从它出发, 也能得到像勾股定理这样的美丽的
成果, 那它很有可能就是对的, 这就意味着我们不需要事先假定它成立, 而应该
能够从其他的公理推导出来.


　　2. 是否能把平行公理替换成与之矛盾的新公理, 同时不违背《原本》中其
余所有的公理?

　　如果第一步无法完成, 那意味着平行公理很可能是无法证明的, 和其他的公
理是独立的， 必须要假定它成立. 那如果假定它不成立会怎么样呢? 如果我们
假设 《几何原本》中除平行公理之外的其他所有的公理都成立, 唯独平行公理
改成不一样的, 例如

　　"经过直线外一点, 都有无限多条直线与这条直线平行."

　　是不是也能得到“丰饶, 美丽的新的几何”?

　　3. 我们的真实世界到底是什么样子的?

　　我们发现假定平行公理成立的时候, 得到的几何学似乎和我们生活的世界符
合地很好. 那么如果我们假定了和平行公理相矛盾的东西成立, 会怎么样呢? 这
样得到的新的几何会仅仅是一种智力游戏, 还是也符合真实的世界? 如果符合真
实的世界, 那么真实世界不可能自己和自己矛盾, 真实世界只可能符合其中一种. 
如果真实世界是满足平行公理的, 那对我们的世界观还没有什么大的冲击. 如果
真实的世界是符合新的几何的, 那如何解释我们的直觉经验里, 我们生活的世界
是符合欧式几何的?


　　就是这三个问题, 引发了人类两千多年的探索, 成就了科学史上动人心弦的
历史.  在十九世纪的时候, 这种新的几何终于被人们发现.  这种新的几何被称
为是罗巴切夫斯基几何，现在被叫做双曲几何。虽然有证据显示高斯十几岁的时
候就发现了这种几何， 但是高斯却没有拿去发表。后来匈牙利数学家鲍耶和俄
罗斯数学家罗巴切夫斯基各自独立的发表了相关的论文。由于平行公理等价于说
三角形的内角和等于一个平角. 而在新的几何里， 三角形的内角小于平角（180
度），三角形的内角和与平角的之间的差距就是三角形的面积 。 


　　高斯想到了在纸上画不管多大的三角形， 测量其内角和都是180度， 是一
个平角。 因此这就意味着一个惊人的事实：

　　“如果真实世界是这种新几何， 就意味着在纸上不管画多大的三角形， 这
个三角形的面积都几乎是0， 看不出和0有任何差别。”

　　高斯一下子就认识到了人类的渺小和宇宙的浩瀚巨大， 人类世界的一切都
是0。 那么1是什么呢？他想知道1是什么， 他想知道面积不是0的三角形到底有
多大。 这就意味着需要找到一个三角形， 这个三角形的内角和小于180度。 从
这个三角形的大小， 我们可以估计宇宙的大小。 

　　这就需要在现实世界中找非常巨大的三角形， 需要高超的测绘技术。而这
正是高斯的强项， 他当时正负责测量德国的土地， 有丰富的测绘经验。  于是
高斯测量了德国境内三座大山Hohenhagen, Inselberg和Brocken组成的三角形的
内角和。然而让高斯深为失望的是， 这么巨大的三角形， 面积依然是0， 看不
出跟0有什么差别。

　　俄罗斯数学家罗巴切夫斯基目光更为深远, 他仰望星空, 把天狼星作为三角
形的顶点,
　　把相距六个月的地球作为另外两个点, 这两点正好处在太阳的两边,  这个
三角形可以说是极大的了, 比高斯的三角形不知道要大多少倍.  罗巴切夫斯基
测量这三个点组成的三角形的内角和， 结果是确实是略微小于180度， 他由此
出发粗略的估计了宇宙的大小。

　　十九世纪末， 人们证明了罗巴切夫斯基几何和欧几里得几何一样好， 如果
其中一个有矛盾， 另一个也有矛盾。 进入二十世纪以后， 希尔伯特等人建立
了几何学的公理体系， 严格证明了这些不同几何所事先假设的公理是没有矛盾
的， 而且是彼此独立的。至此故事才基本上结束。